Cosmologie

Formulé en 1917 par A.Einstein, le principe cosmologique stipule que l'univers est homogène (son apparence générale ne dépend pas de la position de l'observateur) et isotrope (son aspect ne dépend pas de la direction dans laquelle on l'observe) . Ainsi toute translation ou rotation de l'observateur ne doit pas changer la vision qu'il a de l'univers. Ce principe n'est valable qu'à grande échelle c'est à dire à des échelles supérieures à celles des amas de galaxies.

Le principe cosmologique est bien vérifié par les observations. La preuve la plus évidente en ce sens est l'isotropie quasi parfaite du fond diffus cosmologique qui correspond à "l'image" de l'univers tel qu'il était 380 000 ans après le big bang. Néanmoins, si l'univers était déjà si fortement homogène et isotrope à cette époque (de même qu'il l'est globalement resté durant les quelques 13 milliards d'années qui ont suivi), il reste à comprendre pourquoi une homogénéité quasi parfaite reignait déjà dès les premiers instants alors même que tous les points de l'espace constituant l'univers à cette époque ne pouvaient être causalement relié entre eux. Le modèle de l'inflation cosmique semble pouvoir répondre à cette question.

Lorsque le rayonnement cosmologique a été émis 380 000 ans après le big-bang, seules les parties de l'univers séparées de 380 000 a.l pouvaient être reliées causalement ce qui signifie que le processus d'homogénéisation n'a pu se faire que sur des distances de 380 000 al au mieux. Le problème est que l'univers possède à cette période une taille déjà bien supérieure si bien que le fond diffus cosmologique n'a aucune raison d'être totalement homogène et isotrope comme le prouvent les différentes observations. La solution du problème est que toutes les régions de l'univers à cette époque étaient déjà en "contact" avant d'être écartelées par l'inflation. Ainsi, l'univers que nous observons est très uniforme aujourd'hui car il est le résultat de la dilatation extrême d'un germe minuscule dans lequel l'énergie avait déjà eu le temps d'être distribuée de façon uniforme.

Chacun des points de la surface de diffusion possède une sphère de causalité de 380 000 al au maximum. Pourtant, le rayonnement issu de cette surface et que l’on observe aujourd’hui est parfaitement isotrope !

L'inflation cosmologique permet également d'expliquer pourquoi l'univers semble être aussi plat aujourd'hui alors qu'il aurait pu adopter n'importe quelle autre forme. Quelque soit la courbure que possédait l'univers dès ses débuts, celle-ci a été littéralement "gommée" par l'inflation de la même manière que la courbure mesurée par un observateur situé sur la surface d'un ballon démesurément gonflé peut paraître nulle.

L'inflation prévoit ainsi un univers plat et donc une densité d'énergie totale égale à la densité d'énergie (massique) critique.

Le fait que notre univers soit homogène et isotrope restreint de façon drastique les formes géométriques que la partie spatiale de notre univers peut adopter. Les seules formes possibles pour l'espace qui sont compatibles avec la condition de symétrie entre tous les points et toutes les directions sont les espaces 3D à courbure constante, c'est à dire les espaces possédant une symétrie maximale. On peut montrer que seule la 3-sphère, la 3-hyperboloide et l'espace euclidien à 3 dimensions respectent les conditions de symétrie imposées par l'homogénéité et l'isotropie de l'univers.

Une 3-sphère est l'analogue d'une sphère en dimension supérieure. C'est l'ensemble des points équidistants d'un point central fixé dans un espace euclidien à 4 dimensions.

En 1917, la plupart des scientifiques étaient persuadés que l'univers se résumait à la voie lactée, un groupe stables d'étoiles. Certes, il se pouvait que certaines étoiles individuelles se déplaçaient à l'intérieur, mais en considérant la voie lactée toute entière, la caractéristique de l'univers semblaient bien être la stabilité. La voie lactée n'était ni très grande, ni très petite mais semblait être là depuis l'éternité selon les croyances de l'époque.

Grâce à sa toute dernière théorie achevée en 1915, A.Einstein essaya dès lors de décrire cet univers à l'aide d'un modèle théorique. Selon lui, l'univers devait être statique mais aussi fini (ressemblant à la surface d'une sphère) de telle sorte qu'il n'y ait pas de "bords", et devait contenir de la matière distribuée uniformément dans l'espace.

Etonnament, lorsqu'Einstein posa les équations décrivant un tel univers statique, elles indiquaient au contraire un univers soit en expansion soit en contraction ! Le seul moyen de le rendre immobile pour imiter l'apparence de la voie lactée était d'ajouter un terme supplémentaire aux équations de la RG: la fameuse constante cosmologique

Après de longues observations passées entre 1919 et 1924 derrière l'oculaire du grand télescope du Mont Wilson aux Etats-Unis , Edwin Hubble réussit à prouver grâce à la méthode des céphéides que les nébuleuses spirales que l'on croyait être situées dans la voie lactée, étaient en réalité de véritables galaxies situées bien au delà de la notre et qui plus est, étaient réparties de façon uniforme dans ses grandes lignes.

Bien que l'espace soit en expansion, la symétrie reste toujours de mise. Quelque soit la galaxie dans laquelle on se situe, toutes les autres s'éloignent d'elle de la même manière selon la loi de Hubble. Autrement dit, même si l'univers change avec le temps, alors quelque soit sa position, chaque observateur entrainé avec l'espace qui se dilate, verra toujours autour de lui une tranche d'espace homogène et isotrope . La métrique de la partie spatiale sera donc toujours un espace à symétrie maximale mais dont le paramètre "a" (qui représente par exemple le rayon de l'hypersphère dans le cas de l'espace à courbure constante positive) sera fonction du temps.

Parcontre, à la différence d'un univers statique, les coordonnées représentent maintenant ce qu'on appelle les coordonnées comobiles, c'est à dire les coordonnées d'un point M par rapport à un repère en réalité fixe dans l'espace mais mobile puisque lié à un espace qui se dilate (à la manière d'une toile élastique que l'on étire).

Autrement dit, un point M immobile (représentant par exemple une galaxie quelconque dont on néglige le mouvement propre) aura toujours les mêmes coordonnées dans un tel repère bien que l'espace se dilate au cours du temps. (Bien que globalement immobiles dans l'espace, les galaxies s'écartent les unes des autres uniquement en raison de la dilatation de l'espace lui même). La comobilité, c'est donc l'immobilité au sein d'un espace qui est mobile.

Par exemple, par rapport à un repère cartésien, cela signifie que ce sont les graduations des axes qui s’étirent en même temps que l’espace de telle façon que les coordonnées du point M restent les mêmes au cours du temps (si toutefois on suppose bien sûr que le point M reste immobile relativement à l’espace)

r' est la coordonnée radiale comobile (indépendante du temps). Si l'espace est plat, elle représente la distance radiale comobile entre 2 points de l'espace.

r(t) = a(t).r' représente la distance géométrique c'est à dire la véritable distance séparant 2 points au cours du temps (dans le cas d'un espace plat).

Le paramètre "t" doit-il dépendre de la position de l'observateur dans l'espace ?

L'évolution homogène de l'univers signifie que des horloges situées ici sur Terre, dans la galaxie d'Andromède ou ailleurs dans n'importe quelle autre galaxie seront toutes, en moyenne, soumises à des conditions physiques similaires et égreneront donc le temps à peu près de la même façon. L'homogénéité et l'isotropie de l'espace, bien qu'en expansion , garantit ainsi une synchronie cosmique: le temps s'écoule sensiblement de façon uniforme partout dans l'univers.

Le paramètre "t" représente ainsi le temps comobile c'est à dire le temps propre: il s'agit du temps mesuré par des horloges stationnaires par rapport à l'espace lui même. Toutes ces horloges sont en moyenne synchronisées et mesurent globalement le temps écoulé depuis le "Big-Bang": on lui donne le nom de "temps cosmologique"

Mathématiquement parlant, la partie temporelle de la métrique, représentée par le terme g₀₀, doit être indépendante de notre position dans l'espace: il prend par convention la valeur "1" comme dans le cas de l'espace-temps vide de Minkowski.

En définitive la métrique de l'espace-temps sensée représenter notre univers sera de la forme:

Comme la plupart des scientifiques de l'époque, Einstein considère que l'univers est globalement statique et homogène. Il l'imagine également fermé principalement pour des raisons liées au principe de Mach auquel il croit beaucoup. Il construit ainsi un modèle d'univers sphérique capable de rendre compte de l'essentiel des conditions phyiques qu'il pense devoir respecter.

Pourtant, il constate rapidement que ses équations n'admettent pas de solutions statiques et c'est ainsi pour satisfaire ce qu'il considère comme une exigence expérimentale (univers immobile) qu'il se trouve contraint de modifier légèrement ses équations en y ajoutant un terme supplémentaire : la constante cosmologique.

Cette constante se comporte comme une force répulsive permettant de contrebalancer exactement la force gravitationnelle attractive due à la matière, l'ensemble pouvant désormais tenir en équilibre.

La densité d'énergie r de l'univers détermine la taille de celui-ci qui fixe à son tour la valeur que doit prendre la constante cosmologique pour que l'univers soit statique.

Il s'agit d'un univers vide de matière mais avec une constante cosmologique non nulle. En raison de l'isotropie de l'espace, la métrique est de la forme:

Le modèle d’univers de De Sitter n’est statique qu’en apparence en raison du système de coordonnées particulier qui a été utilisé. Comme l'a montré H.Weyl en 1923, il suffit par exemple d’introduire un peu de matière dans le modèle pour constater qu’elle tend à s’écarter de façon exponentielle. En 1925 G.Lemaître montre comment on peut introduire de nouvelles coordonnées qui rendent la métrique de De Sitter non statique et démontre qu'il existe alors une relation linéaire entre la vitesse et la distance.

Dans cette catégorie de modèles d’univers, le fluide cosmique, principalement constitué des galaxies, est assimilé à un gaz parfait (les interactions entre galaxies sont négligées) dont la pression est négligeable (l’énergie « d’agitation thermique » des galaxies est négligeable devant leur énergie de masse).

Bien qu' A. Friedmann ait traité les situations avec une constante cosmologique , on se limitera ici aux cas paticuliers où= 0

Tous les modèles de Friedmann possèdent une singularité dans le passé et qui correspond à ce qu’on appelle communément le « Big Bang ».

Avant d'expliciter les différentes solutions des équations de Friedmann, on peut introduire au préalable les paramètres cosmologiques:

Remarque: la relation de Hubble v= Ho.r n'est qu'une approximation seulement valable pour des galaxies dont la vitesse de récession est modérée.

En effet lorsqu'on regarde une galaxie située par exemple à 2 millions d'année-lumière, on mesure aujourd'hui la vitesse et la distance à laquelle se situait cette galaxie il y a 2 millions d'années de là, c'est à dire le temps qu'il a fallu à la lumière pour parvenir de la galaxie jusqu'à nous. Si ce laps de temps est faible relativement au temps cosmologique, le taux d'expansion de l'univers mesuré par la "constante" de Hubble H n'a pas eu le "temps" de varier de façon notable et on peut ainsi considérer que sa valeur est sensiblement la même aujourd'hui.

Il en est de même pour la distance et la vitesse de récession de la galaxie étudiée: la distance et la vitesse que possédait la galaxie il y a 2 millions d'années ont quasiment les mêmes valeurs qu'aujourd'hui.

La relation

n'est donc valable que si l'on considère des galaxies dont la vitesse de récession n'est pas trop élevée c'est à dire pour des galaxies modérément éloignées.

La connaissance de H₀ permet d’évaluer l’âge de l’univers. En effet, si on considère que les galaxies s’éloignent les unes des autres à vitesse constante (alors qu’en réalité elles s’éloignaient plus vite par le passé qu’aujourd’hui) alors la distance « r » qui sépare 2 galaxies maintenant vaut r =v.t_H ou t_Hreprésente le temps écoulé depuis le Big-Bang. (t_Hest aussi appelé "temps de Hubble")

Proposé conjointement par Einstein et De Sitter en 1932, il s'agit d'un cas particulier des modèles de Friedmann pour lequel l'espace est supposé être "plat" (k=0)a)

Il s'agit d'un univers ouvert dont l'expansion s'arrêtera au bout d'un temps infini.

Ce modèle d'univers a été abandonné car en contradiction avec l'âge de certaines vieilles étoiles dont on estime la durée de vie supérieure à 10 milliards d'années.

Conclusion : si r >r_c l'univers est fini dans l'espace et dans le temps puisqu'il se termine inévitablement par un Big Crunch. Ce type d'univers a été abandonné car son âge actuel maximale est toujours plus petit que l'âge de certaines étoiles...

Conclusion : si r <r_c l'univers est ouvert dans l'espace et dans le temps.

Avec un paramètre de décélération très faible, l'âge de l'univers reste compatible avec l'âge des plus vielles étoiles mais est en contradiction avec la valeur du paramètre de décélération que l'on mesure aujourd'hui : qo < 0

Indépendamment et contrairement à Friedmann, les solutions proposées par G.Lemaître incluent non seulement la constante cosmologique mais aussi un terme de pression et sont donc plus générales que les modèles présentés par le physicien russe entre 1922 et 1924.

Le terme de pression prend toute son importance lorsque l’univers est jeune et que la pression due aux photons ne peut plus être négligée devant la densité d’énergie de la matière. Dans les premiers stades de l’univers, on peut même négliger les termes de densité d'énergie de matière et du vide par rapport à la pression de radiation.

En fait, l’approximation p = 0 n’est valable que pour les temps cosmologiques postérieurs à 100 000 ans.

b) Les modèles d'univers avec constante cosmologique non nulle et pression négligeable.

b-1) Univers de courbure nulle (k=0) : Le modèle LCMD (lambda cold dark matter)

D’après les dernières mesures obtenues en étudiant les « supernovae » de type Ia, ainsi que ceux obtenus grâce à WMAP, il s’agirait du modèle le mieux adapté à l’univers observable. En effet, les dernières observations tendent à montrer que notre univers est plutôt « plat » et que son expansion s’accélère ce qui peut s’expliquer en faisant à nouveau intervenir une constante cosmologique positive.

Cette constante peut être incorporée dans le tenseur énergie-impulsion en rajoutant à celui-ci un terme supplémentaire que l’on peut interpréter comme étant le tenseur énergie-impulsion du vide dont l’effet répulsif finirait par l’emporter lorsque l’univers serait devenu suffisamment grand.

L'origine de cette énergie du vide, aussi appelée "energie noire", n'est toujours pas comprise aujourd'hui....

Il s'agit de la distance au-delà de laquelle l'univers n'est plus observable car toute information sur cette partie de l'univers n'a pas eu le temps de nous parvenir. Etant donné qu'aucune information ne peut voyager plus vite que la lumière et que l’univers est âgé d’environ 13,7 milliards d’années, tout objet situé au-delà de 13,7 milliards d’années-lumière ne peut être observé. Néanmoins l’univers étant en expansion, la distance réelle qui nous sépare de l’horizon cosmologique est supérieur à cette valeur.

Aujourd’hui, les seules informations que l’on peut obtenir de l’univers se font grâce à la lumière et celle-ci n’a pu voyager librement qu’environ 380 000 ans après le big-bang lorsque l’univers est enfin devenu « transparent ». La distance à laquelle se situe l'horizon cosmologique correspond donc à la distance qui nous sépare de la "surface de dernière diffusion".

Il n'existe pas de solutions aux équations de Friedmann dans ce cas, mais un traitement numérique permet de tracer les courbes a=f(t)

Persuadé que l'expansion de l'univers est une réalité (contrairement à Einstein à cette époque), Lemaître propose en 1927 un modèle d'univers sans big-bang mais en expansion. L'univers est là depuis toujours dans un état statique correspondant au modèle d'Einstein présenté en 1917, puis entre dans une phase d'expansion suite à une perturbation...

Dans ce modèle, Lemaître suggère que l’univers possède un début dont l’origine serait la désintégration d’un atome-univers. L’univers connaîtrait alors une phase d’expansion rapide suite à laquelle il entrerait dans une phase de stagnation plus ou moins longue (suivant que L est plus ou moins proche de L_E). Durant cette seconde phase, il y aurait un équilibre presque parfait entre la gravité et la répulsion provenant de la constante cosmologique. C’est lors de cette phase que des fluctuations de densité apparaissent donnant naissance aux étoiles puis galaxies et amas de galaxies. La formation de ces condensations de matière perturberait l’équilibre et déclencherait alors une nouvelle phase d’expansion que l’on observe aujourd’hui.

Plus la valeur de L s'écarte de L_E et plus la phase de "stagnation" est courte.

Dans le cas d'une courbure négative, tous les univers connaissent un Big Bang quelque soit la valeur de L.

Dans les années 1950, la plupart des physiciens avaient plus ou moins adopté la théorie du Big-Bang de Georges Lemaître même si de nombreux problèmes subsistaient encore comme par exemple l’âge de l’univers. D’après les mesures de Ho (environ 500 km.s^-1.Mpc^-1) l’univers avait un âge maximum d’environ 2 milliards d’années alors que les géologues de l’époque dataient déjà certaines roches terrestres à environ 3,5 milliards d’années. La Terre serait plus âgée que l’univers !

En désaccord avec la théorie selon laquelle l’Univers serait né d’une « explosion », Fred Hoyle, Hermann Bondi et Thomas Gold quant à eux, prônaient l’existence d’un Univers stationnaire c'est-à-dire un univers éternel (sans début) et immuable (même aspect). La théorie de l'état stationnaire offrait une alternative au problème d'un commencement de l'Univers posé par le modèle standard. L'acte de création unique était remplacé par un Univers qui se crée continuellement lui-même.

En effet l’expansion de l’univers étant un fait avéré, de la matière devait être crée continument à partir du vide afin que l’univers resta inchangé dans le temps comme l’affirmait les 3 physiciens (c’est le principe cosmologique parfait imaginé par Hoyle : l’univers est homogène, isotrope et identique à lui-même dans le temps) : les calculs de Hoyle conduisaient à un taux de création d'un atome d'hydrogène par décimètre cube et par milliard d'années.

Le terme de « big-bang » a été inventé par F.Hoyle lors d’une émission à la BBC en 1951 afin de tourner au ridicule Georges Gamow, fervent défenseur de la théorie de Lemaître. Georges Gamow est d’ailleurs l’un des premiers à avoir prédit dans les années 40 que si l’univers était passé par une phase dense et chaude, il devait exister aujourd’hui un reliquat de cet état très chaud: le rayonnement fossile.

Néanmoins, au début des années 60, lorsque les quasars furent découverts en grand nombre, il fallut bien convenir que la théorie de l'état stationnaire n'était plus crédible. Dennis W. Sciama et Martin J. Rees remarquèrent qu'il existait beaucoup plus de quasars dans le passé que de nos jours. Leur découverte démontrait une évolution cosmologique, incompatible avec la théorie de l'état stationnaire. Le coup d’arrêt final à la théorie de Hoyle, Bondi et Gold fut la découverte du fond diffus cosmologique en 1965. L’origine, son spectre de corps noir et le fait que sa température était plus élevée par le passé ne pouvaient pas être expliqués correctement par la théorie de l’univers stationnaire.

Soit un observateur situé à l'origine du référentiel comobile. Pour cet observateur, la distance radiale comobile D_com d'un point dont les coordonnées sphériques sont (r,0,0) est obtenue en intégrant la partie spatiale de la métrique de FLRW réduite à sa composante radiale:

Bien que non mesurable, cette grandeur fixe de façon intrinsèque et indépendamment de l'expansion, la distance entre 2 points.

Il s'agit de la distance géométrique entre 2 points de l'espace. Il s'agit d'une grandeur qui est fonction du temps et qui ne peut être mesurée qu'à un instant donné, ce qui n'est pas possible en pratique car toute mesure de distances ne peut se faire de façon instantannée. Il ne s'agit donc pas d'une grandeur accessible.

Le "redshift", ou décalage vers le rouge de la lumière, s'observe dans le spectre de tous les objets lointains. Il est dû à l'expansion de l'univers et à la vitesse relative entre les objets qui en résulte.

Si la distance radiale comobile entre nous et une galaxie donnée est constante au cours du temps, 2 photons successifs émis par cette galaxie devront parcourir des distances lumière différentes en raison de la dilatation de l'espace lui même. Le second photon aura une distance légèrement plus grande à parcourir et prendra donc du retard sur le premier ; Il sera reçu par l'observateur terrestre avec un léger décalage temporel plus grand que celui les séparant à leur émission.

Considérons 2 photons émis depuis une galaxie donnée aux instants t₁ et t₁+ dt₁en direction d'un observateur O où ils arrivent aux instants t_o et t_o+dt_o. Comme il s'agit de lumière, on peut écrire pour chacun des photons que ds² =0 e

En réalité, il n'est pas possible d'obtenir directement la valeur de v(to) et D_p(to) pour en déduire celle de H(to) : les seules grandeurs accessibles aux mesures sont le redshift "z" et la distance-lumière (aussi appelée distance de luminosité)

Néanmoins, pour des distances relativement faibles (donc pour des redshifts petits), on peut obtenir la valeur de v(to) à partir de la mesure du redshift "z":

De même si les redshifts mesurés sont faibles, la valeur de Dp(to) est quasiment égale à Dl(to) que l'on obtient facilement à partir de la luminosité apparente d'une source lumineuse dont on connaît la luminosité intrinsèque (ex: les cépheides). C'est de cette façon que Hubble a obtenu sa loi de proportionnalité entre les vitesses de récession et les distances radiales et a ainsi pu en déduire la valeur de Ho.

La distance entre 2 points de l'espace peut aussi être définie par la distance parcourue par la lumière pour les joindre. Cette distance est équivalente au temps de voyage mis par la lumière pour joindre les 2 points de l'espace. Dans un univers en expansion, cette distance ne coincide pas avec la distance physique D_p entre les objets puisque celle-ci varie continûment pendant le voyage de la lumière.

Si "dl" est la distance comobile séparant 2 points de l'espace, la distance-lumière D_L, qui dépend de l'instant d'émission te, satisfait la relation ci-dessous:

La distance luminosité s'obtient en mesurant la luminosité apparente d'une source lumineuse dont on connaît la luminosité intrinsèque (ex: Céphéides, SNIa):

a) Relation "redshift"-"distance-lumière" et détermination des valeurs de Ho et qo

Remarque: pour des redshifts très petits, le terme en z² est négligeable et on retrouve dès lors la relation établie par E. Hubble :

En pratique, il suffit de mesurer le redshift d'objets lumineux ainsi que la distance à laquelle ils se trouvent de la Terre pour en déduire les valeurs de Ho et qo

L'observation d'un grand nombre de supernovae de type SNIa ("Supernovae Cosmology project" et "High-Z Supernovae Surch Team") a permis de tracer la courbe D_L= f(z) et d'en déduire une valeur relativement précise de Ho et qo: