Histoire de la Relativité

 

 

 

 

 

 

                                                                   Relativité du mouvement

Référentiels galiléens et principe  d'inertie

Le principe de relativité galiléen

Symétrie et lois de conservation

Référentiels non-galiléens  et  forces  d'inertie

Théorie de la relativité resreinte

 

Introduction

Le principe d'équivalence

Champs de gravitation et espaces  courbes

Le principe de relativité générale

Les équations du champ

Vérifications expérimentales

 

Le principe cosmologique

Symétries spatiales et tenseur métrique

Un univers en expansion

Les équations de Friedmann

Les modèles d'univers

Grandeurs observables et données expérimentales

 

                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                          

 

 

  

                                                                                                                              Relativité générale                                      

                                                                               

 

 

 

" Selon la théorie de relativité générale, l'espace en tant que concept détaché de tout contenu physique, n'existe pas !"

                                                       

                                                                      Albert Einstein -1951-                                     

 

 

 

1°) Introduction

 

1905, la théorie de la relativité restreinte a enfin résolu le difficile problème de la non-invariance des équations de Maxwell sous une transformation de Galilée et a du même coup, apporté une réponse définitive quant à l'existence de cet "éther" que les physiciens avaient introduit au XVIII siècle. Pourtant, elle n'a pas encore résolu tous les problèmes et notamment celui de la gravitation.

1687, le grand Isaac Newton publie les "principia" et sa théorie de la gravitation où cette nouvelle intéraction est présentée comme agissant instantanément à travers le vide (contrairement à l'intéraction électromagnétique qui se propage au mieux à la vitesse de la lumière). Pourtant, depuis la relativité restreinte les physiciens savent désormais que rien ne peut se déplacer plus vite que la lumière. Newton lui même était déjà conscient du problème lorsqu'il écrivait :"Que la gravité soit innée, inhérente et essentielle à la matière, de sorte qu'un corps puisse agir à distance sur un autre à travers le vide, sans aucune espèce d'intermédiaire, pour transporter l'action et la force d'un corps jusqu'à l'autre, voilà qui me paraît d'une si grande absurdité que nulle personne ayant quelque capacité de raisonnement philosophique ne pourra jamais, ce me semble, y ajouter crédit"

 

La loi en 1/r2 de l'intéraction gravitationnelle ne faisant pas apparaître le paramètre "temps" dans son expression, c'est logiquement que celle-ci n'est pas invariante sous une transformation de Lorentz comme l'avait déjà fait remarquer Poincaré.

      3ième loi de Newton ou loi de la gravitation universelle.

 

Indépendamment, la théorie de Newton présente également d'autres lacunes comme par exemple "l'avance du périhélie" de la planète Mercure, petite anomalie connue depuis 1859 ( Voir Le Verrier  (1811-1877) ) et à laquelle elle n'a su apporter de réponse satisfaisante. La physique du XIX siècle n'envisage pas non plus la nécessaire déviation des rayons lumineux par les masses bien que les calculs furent déjà effectués par Soldner à la fin du XVIII siècle dans le cadre de la théorie corpusculaire de la lumière proposée par Newton (Cette théorie fut abandonnée car supplantée par la théorie ondulatoire de Fresnel, seule théorie capable d'expliquer correctement les phénomènes d'interférences). Pourtant, l'aspect corpusculaire de la lumière a été remis à l'ordre du jour dès 1905 afin d'interpreter l'effet photoélectrique. De plus, la lumière c'est de l'énergie, tout le monde le sait, et l'énergie c'est aussi..... de la masse comme l'explique la  célèbre relation E= mc2. Somme toute, les particules de lumière, comme toutes les autres particules, doivent être attirées par les masses, d'où une déviation obligatoire des rayons lumineux par les étoiles.

 

                                                                                                                       

 

Au delà de ces petites imperfections, un autre problème, tout aussi important, tracasse Einstein. Il s'agit de la relativité des mouvements car la réponse fournie par la relativité restreinte n'est que partielle. Si les lois de la nature sont bien invariantes lors d'un changement de référentiel Galiléen, elles doivent néanmoins être modifiées dans les référentiels accélérés pour tenir compte des forces d'inertie. Or selon Mach, il n'y a pas lieu de distinguer les mouvements accélérés des mouvements inertiels. Pour le philosophe, les mouvements accélérés n'ont rien d'absolu mais sont, comme les mouvements inertiels, relatifs aux autres corps. Ainsi, tout mouvement dans la nature doit être par essence relatif et les lois de la physique doivent donc s'exprimer de façon identique dans tous les référentiels, quelque soit leur état de mouvement : c'est le futur principe de relativité générale d'Einstein  et qui se traduit mathématiquement en un autre principe, celui de covariance généralisée  qui exige que la forme des équations de la physique reste inchangée dans une transformation quelconque du système de coordonnées.

Pour Einstein, ce principe de relativité générale de tous les mouvements est une évidence. Pourquoi la nature ferait-elle une distinction entre les différents catégories de mouvements ? Pourquoi les référentiels accélérés ne seraient-ils pas tout aussi valides que les référentiels inertiels pour écrire les lois de la physique ?

 

Relativité des mouvements et gravitation ne sont d'ailleurs pas deux problèmes aussi distincts qu'ils en ont l'air. Bien au contraire, ils sont liés de façon très profonde. Souvenez-vous, pour Newton les forces d'inertie sont des forces émanant de l'espace absolu et agissant uniquement sur les corps accélérés, permettant ainsi de caractériser ces mouvements "non-inertiels" de façon intrinsèque c'est à dire sans faire référence à un autre corps. Au contraire pour Mach, ces forces sont d'origines gravitationnelles si bien qu'un mouvemet accéleré ne pourra être défini que relativement aux corps matériels d'où émanent ces forces gravitationnelles, c'est à dire ces forces d'inertie selon le philosophe . On voit ainsi apparaitre succintement un lien entre les référentiels accélérés et les forces gravitationnelles.

Si l'on suit le résonnement de Mach jusqu'au bout, des forces gravitationnelles doivent donc apparaître dès lors qu'un corps est animé d'un mouvement accéléré. On peut alors tout aussi bien imaginer que tous les corps apparemment immobiles et sur lesquels s'exercent des forces gravitationnelles, sont en réalité animés d'un mouvement accéléré approprié ! On est déjà tout près du principe d'équivalence formulé par Einstein en 1907.

 

Conscient du caractère inachevé de sa théorie de la relativité restreinte, Einstein va s'attaquer au difficile problème de la  3ième loi de Newton en cherchant à construire une théorie relativiste de la gravitation. Mais contrairement à ses collègues, il ne se fourvoyera pas dans une approche purement mathématique car Einstein est un vrai physicien ; il aime "danser" avec la nature pour mieux en percer les secrets. C'est d'ailleurs là que réside tout son génie. S'il ne peut physiquement "communier" avec la nature pour "vivre" les phénomènes en direct, il pratique aisément toutes sortes "d'expériences de pensée". C'est d'ailleurs en s'imaginant tomber en chute libre dans un ascenseur qu'il réalisa que la gravitation est par essence relative.

La gravitation un phénomène relatif ? Quoi apparemment de plus absolu qu'un champ de gravitation dans la conception newtonienne ? La gravitation a été reconnue par le "grand  Maître" Newton comme universelle; Voilà bien un phénomène physique dont l'existence ne semble pouvoir dépendre de telle ou telle condition d'observation !

 

 

2°) Le principe d'équivalence  (1907)

 

 

Depuis Galilée, chacun sait que tous les corps tombent de la même manière quelque soit leur masse, leur composition et leur forme, abstraction faite bien entendu de la résistance de l'air  (les expériences prouvant qu'il en est bien ainsi, auraient été réalisées par Galilée lui-même depuis la tour de Pise). En d'autres termes, l'accélération communiquée à un corps par un champ gravitationnel est indépendante de la masse du corps. La raison profonde d'un tel phénomène provient de l'égalité de la masse "inerte" et de la masse "grave", égalité apparemment purement accidentelle..... La masse inerte notée "mi", est un coefficient introduit par Newton et mesurant la résistance d'un corps à toute modification de son mouvement. La masse "grave" quant à elle, représente la quantité de matière à l'origine des champs gravitationnels. Elle représente également le coefficient de couplage de la matière avec le champ de gravité (champ crée par d'autres corps "pesants"). Elle représente ce qu'on appelle encore la "charge gravitationnelle" par analogie avec la charge électrique (en électromagnétisme  c'est par l'intermédiaire de la charge éléctrique que les particules interagissent avec le champ électromagnétique. Dans la théorie de la gravitation, c'est par l'intermédiaire de la charge gravitationnelle que les corps réagissent aux champs gravitationnels).

On distingue ainsi deux sortes de masse "grave" : la masse grave "active" qui est la source du champ gravitationnel, et la masse grave "passive" qui représente la masse capable d'interagir avec les champs de gravité. En vertu du principe des actions réciproques, aucune distinction n'est faite entre ces deux types de masses en théorie newtonnienne. Pour des raisons de cohérence interne à la théorie il en est de même en relativité générale.

Malgré leur rôle pourtant totalement différent, toutes les expériences qui ont pu être réalisées à ce jour montrent que masse inerte et masse grave (passive) sont deux grandeurs dont les valeurs sont identiques à 10 -12 près (cf l'expérience d'Eotvos, etc..).

 

Si déjà Galilée en son temps avait bien observé que des corps différents chutaient de la même manière, la seconde loi de Newton nous permet de mieux comprendre, sans pour autant nous expliquer pourquoi masse inerte et masse grave ont  la même valeur.

Supposons par exemple qu'un corps de masse grave "mg" soit lâché depuis un pont dans le champ de pesanteur terrestre g. La relation fondamentale de la dynamique (2ième loi de Newton)  permet d'écrire pour ce corps :

 

            

Si          ce qui signifie que tous les corps chuteront avec la même accélération, c'est à dire de la même manière.

 

Ainsi, pour que dans le vide tous les corps tombent avec la même vitesse (ce que l'expérience nous révèle) il faut bien admettre, d'après la RFD, que masse inerte et masse grave ont la même valeur.

 

Plutôt que de lacher des corps verticalement, on aurait pu tout aussi bien projeter à l'aide d'un canon des obus de masses et de formes différentes. La conclusion aurait été exactement la même : tous les corps auraient rigoureusement suivi la même trajectoire parabolique comme si cette trajectoire était déjà inscrite dans l'espace. On rencontre un peu la même situation pour les corps flottant sur l'eau d'un fleuve; Q'il s'agisse d'un bâteau, d'un morceau de bois ou d'une feuille morte, tous suivent les mêmes contours, la même courbe, celle inscrite, gravée par le cours d'eau sur la surface déformée à deux dimensions qu'est notre surface terrestre.

Mais n'anticipons pas et revenons plutôt au fameux principe d'équivalence. Si l'expérience est risquée, Einstein la pratiquera de façon imaginaire ; il se rêve tombant au beau milieu d'un ascenseur et dont le cable vient de céder ! Que voit-il? Que ressent-il? Il semble flotter dans cet ascenseur comme il le ferait dans le vide loin de toutes forces. Il sort alors de sa poche une pomme, la lâche..et stupeur ! Einstein la voit restant obstinément à côté de lui, immobile comme en lévitation (la pomme, tout comme Einstein, chutent à la même vitesse et ils sont donc immobiles l'un par rapport à l'autre). Un peu étonné, Einstein la pousse légèrement et la voilà maintenant décrivant une parfaite ligne droite. Tout se passe donc comme si cette dangeureuse expérience se passait calmement dans l'espace loin de tout, comme si soudainement la gravité n'existait plus ! Tiens tiens...la gravité que l'on croyait absolue, universelle, n'est-elle qu'une illusion ? Einstein vient de comprendre, la gravitation peut être supprimée par un choix judicieux du référentiel ; La gravité est relative au référentiel. Référentiel plutôt étrange, car bien qu'en mouvement accéléré, il se comporte magiquement comme un référentiel inertiel. Si la gravité n'a rien d'absolu mais est relative, il en est aussi de même des mouvements accélérés comme le pensait déjà Mach. En effet, si l'on peut faire disparaître un champ de gravité en se plaçant dans un référentiel uniformément accéléré et entraîné dans ce champ, l'inverse est également possible. Pour l'illustrer, imaginons-nous dans ce même ascenseur en accélération vers le haut à raison de 9,8 m.s-2. Les phénomènes que nous pourrions vivre dans cet ascenseur seraient identiques à ceux que nous vivons quotidiennement sur notre bonne vielle Terre apparemment immobile. Si comme Einstein, on choisissait de lâcher un objet, on le verrait tomber vers le bas avec une accélération de 9,8 ms-2 (en réalité c'est le plancher de l'ascenseur qui monte en nous entraînant vers le haut,  si bien que tout se passe comme si l'objet tombait vers le bas). De même, si nous lancions ce même objet, nous le verrions suivre une trajectoire parabolique. Toutes les expériences que nous pourrions faire dans cet ascenseur ne nous permettraient pas de savoir si nous sommes effectivement dans un référentiel accéléré ou "immobiles" dans un champ de gravité (en tout cas localement, car le champ de gravité  engendré par une planète n'est pas uniforme contrairement au champ d'accélération de notre ascenseur)

 

 

Sommes-nous immobiles dans l'ascenseur qui baigne dans le champ de pesanteur terrestre ou sommes-nous en mouvement accéléré vers le haut ??

Réponse d'Einstein : il est localement impossible de faire une quelconque différence !                                

 

 

 

Animation vidéo (format quick time/ 7,4 Mo) présentant le principe d'équivalence :

       

                                        

 

                      

 

                               

 

 

 

Pour Einstein, tout s'illumine enfin ! De ces expériences pourtant simples, il réalise la profondeur du lien existant entre les phénomènes gravitationnels et la relativité des mouvements. Ces deux problèmes qui tracassaient tant Einstein autrefois ne font plus qu'un seul et même problème!

C'est ainsi qu'en 1907 Einstein pose son principe d'équivalence : Un champ de gravitation est localement équivalent au champ de force créé par un mouvement accéléré. On ne peut faire de distinctions entre ces deux phénomènes et c'est pourquoi  la masse inerte possède la même valeur que la masse "grave". Ainsi, dans la nouvelle théorie de la gravitation, pourquoi faire intervenir cette masse inerte pour finalement la faire disparaître comme c'est le cas avec la seconde loi de Newton? Croire au principe d'équivalence c'est accepter que la nature soit faite de façon à ce que les trajectoires soient indépendantes des corps eux-mêmes, c'est accepter que les orbites des planètes soient en quelque sorte déjà tracées dans l'espace. Ces "autoroutes spatiales" étant structurées, façonnées par les masses graves. Au final, Adieu les vieilles lois de Newton et les notions de forces et d'accélérations qui vont avec !

Il s'agit maintenant pour Einstein de comprendre comment la masse "grave" structure, modèle l'espace-temps l'obligeant ainsi à abandonner le cadre de la géométrie euclidienne... mais n'anticipons pas et revenons tout d'abord un instant sur le délicat problème de l'origine des forces d'inertie.

Pour Newton, les forces d'inertie qui apparaissent sur les corps accélérés proviennent de l'espace absolu. Pour Mach qui répugne l'idée qu'il puisse exister un espace indépendamment des objets qu'il contient, ces forces d'inertie sont d'origines gravitationnelles et proviennent de tous les corps matériels existant dans l'univers, en accord avec l'idée que les mouvements accélérés ne peuvent être que relatifs aux autres corps, tout comme le sont déjà les mouvements inertiels (relativité générale des mouvements). D'ailleurs, comment pourrait-on définir positions, vitesses et donc accélérations par rapport à un espace dépourvu de tout corps de référence ?

Pour Mach comme pour Einstein par la suite, la raison de l'inertie est donc une résistance au mouvement, une résistance qui serait liée à l'attraction gravitationnelle de tous les autres corps de ce monde. Le principe d'équivalence va bien dans ce sens puisqu'il stipule qu'il n'existe aucune différence entre accélération et gravitation. Accélérez et tout se passe comme si vous étiez soumis à un champ de gravité, or accélérer en théorie Newtonienne c'est aussi voir apparaître des forces d'inertie. Ainsi, Einstein voudrait bien voir dans l'inertie et la gravitation un seul et unique phénomène.

Si l'on accepte ce raisonnement jusqu'au bout, tout corps en rotation dans un espace vide (sans matière) n'enflera pas sous l'effet de la force centrifuge puisqu'aucune force d'inertie ne peut exister dans pareil cas étant donné qu'elles sont, selon Mach et Einstein, d'origines gravitationnelles. Ainsi, on ne pourrait donc pas savoir si ce corps tourne puisqu'il réagirait de la même manière que s'il ne tournait pas...La future théorie de la gravitation devrait donc tenir compte de cette logique conclusion en interdisant qu'il puisse exister des corps en rotation dans un espace totalement vide. Ce sera finalement une grosse déception pour Einstein que de s'apercevoir que les solutions possibles des équations de la relativité générale permettent malheureusement une telle situation (métrique de Kerr par exemple). Mais par rapport à quoi le corps défini par la métrique de Kerr peut-il bien tourner ?

 

 

 

 

 

En résumé : les champs de gravité et les champs d'accélération n'ont rien d'absolu mais sont relatifs et même interchangeables. Comme à son habitude Einstein va tirer de ce résultat fondamental toutes les conclusions possibles et notamment celle de la nécessaire déviation des rayons lumineux au voisinage des masses, ainsi que le phénomène de ralentissement des horloges dans les champs de gravité. Voyons maintenant pourquoi :

 

 

 

Imaginons-nous dans le vide, loin de toutes matières, et dans notre ascenseur en accélération constante vers le haut à raison de 9.8 ms-2. Par commodité, supposons que les parois de notre ascenseur puissent laisser passer la lumière. Imaginons maintenant qu'un rayon lumineux de trajectoire rectiligne et horizontale, traverse notre ascenseur de part et d'autre. En raison de l'accélération de notre ascenseur, le rayon lumineux ne ressortira pas "pile-poil" en face du point par où il est entré (point A1 sur la figure), mais légèrement plus bas (point A2).

Si on pouvait filmer depuis l'intérieur de l'ascenseur la trajectoire de ce rayon lumineux, on observerait une trajectoire courbe et dirigée vers le bas. En vertu du principe d'équivalence, notre cabine accélérée est aussi équivalente à une cabine immobile mais baignant dans un champ de pesanteur de valeur g = 9,8 m.s-2.

 

 

                                                                                                

 

                                                                                                               Déviation du rayon lumineux par rapport à l'ascenseur          

     

                             

 

Animation vidéo (format avi/138 Ko) montrant l'effet d'une accélération sur un rayon lumineux :  

 

                                                                                                                         

 

En conclusion : un champ gravitationnel est capable d'incurver, de dévier les rayons lumineux ce qui n'était pas le cas avec la théorie ondulatoire de la lumière.

 

 

 

Dès 1915, Einstein calcula l'angle de déviation qu'un rayon lumineux issu d'une étoile lointaine devrait subir en passant à proximité du Soleil.

Cet angle vaut

Concrètement le phénomène se traduit par un déplacement apparant de l'étoile sur la voute céleste lorsque le Soleil passe devant la ligne de mire de l'étoile.

La valeur de l'angle de déviation fut mesurée en mai 1919 par Eddington lors d'une éclipse totale de Soleil. Les résultats des mesures donnèrent raison à Einstein.

 

                                                                                   

 

 

 

                                                                              

 

    

Déplacement apparent de l'étoile lorsque le Soleil passe dans la "ligne de mire". L'étoile semble s'être déplacée vers la gauche.

 

 

 

 

 

 

           

    Il s'agit ici de mesurer les effets possibles d'une accélération sur l'écoulement du temps puis de transposer  la situation à celle vécue dans un champ de gravité via le principe d'équivalence.

    Pour cela Einstein imagine un ascenseur en accélération constante vers le haut. En haut de l'ascenseur se  situe un observateur dont le rôle consiste à mesurer la période T d'un phénomène périodique ayant lieu  quelques mètres plus bas, l'information étant transmise de l'horloge à l'observateur via une onde  électromagnétique.

    Rapporté à un champ de gravité uniforme, tout se passe donc comme si notre observateur et l'horloge étaient au  repos mais situés dans un champ de pesanteur tel que :  g = aG .

    La situation étant présentée, passons maintenant à quelques calculs :

    Pour ne pas tenir compte des effets relativistes apparaissant lorsque les vitesses deviennent trop grandes, on supposera que l'accéleration de notre ascenseur reste faible si bien que notre analogie avec un champ de  gravité ne sera valable que si le champ est de faible intensité. De plus, le principe d'équivalence n'étant  valable que localement, la transposition à un champ de gravité ne sera correct que si les dimensions de  l'ascenseur restent très petites.

    L'horloge est placée sur le plancher de l'ascenseur. A chaque "tic-tac" elle émet vers le haut une onde  électromagnétique. Soit To le laps de temps écoulé entre l'émission de deux ondes sucessives (To  représente donc la période propre de l'horloge située au niveau du plancher).

 

 

Soit maintenant notre observateur situé au plafond de l'ascenseur. Entre la réception de deux signaux éléctromagnétiques successifs, il mesurera un laps de temps T qui correspond à la période qu'il attribue au phénomène.

 

Au premier "tic" de l'horloge, noté t1, une onde electromagnétique part en direction du plafond. Avec l'approximation utilisée, la distance que doit parcourir cette onde pour atteindre le plafond vaudra :

d1 » dh + v´(dh /c)   car pendant que l'onde monte, le plafond recule à la vitesse v  que l'on peut supposer constante (le laps de temps nécessaire au photon pour atteindre le plafond de hauteur dh est très court vu les dimensions restreintes de l'ascenseur, et étant donné que l'accélération de l'ascenseur est supposée faible, sa vitesse ne peut guère varier sur un laps de temps aussi court).

 

 

Soit t'1 l'instant repéré sur l'horloge  de l'observateur lorsqu'il note l'arrivée de ce premier photon :  t'1= t1+ d1/c

 

Au second tic (donc le tac...) de l'horloge du bas, noté t2, une deuxième onde part en direction du plafond. La distance à parcourir pour cette deuxième onde est plus grande que tout à l'heure car entre temps la vitesse de l'ascenseur a  légèrement augmenté étant donné qu'il accélère. Soit v' la nouvelle vitesse de notre ascenseur. La distance à parcourir vaut maintenant d2 » dh +v'´(dh /c).

Soit t'2 l'instant où notre observateur note l'arrivée de cette seconde onde:  t'2 = t2 + d2/c

 

Pour cette observateur, la période T' de l'horloge située en bas vaut :

 

                                                                                      

 

L'expérimentateur situé en haut de l'ascenseur observe donc une dilatation des durées (T'>To). Pour cet observateur, l'horloge du bas retarde par rapport à la sienne.

Dit d'une autre manière, le temps s'écoule plus lentement au niveau du plancher qu'en haut de l'ascenseur. Il s'écoulera d'autant plus lentement que l'accélération aG de l'ascenseur est grande. A noter que cette expérience a été réalisée et les résulats obtenus sont en accord avec l'expérience de pensée imaginée par Einstein.

Pour un observateur situé à l'extérieur de l'ascenseur, cette dilatation temporelle peut s'interpréter comme due à un effet Doppler, mais pour l'observateur à l'intérieur de l'ascenseur, point d'effet Doppler; il est immobile relativement au plancher de l'ascenseur d'où partent les ondes éléctromagnétiques et il n'y a donc aucune vitesse relative entre émetteur et récepteur. Selon lui, le phénomène ne peut être du qu'aux forces d'inertie qui apparaissent au sein de l'ascenseur. Or selon Mach et Einstein, ces forces sont  d'origine gravitationnelle.  

 

En vertu du principe d'équivalence, la situation décrite précédemment est  équivalente à celle d'un ascenseur immobile plongé dans un champ de gravité "g" uniforme, si bien qu'Einstein en conclue que la gravitation est  capable de modifier l'écoulement du temps. Selon lui, ce décalage temporel n'est pas lié à un effet  provenant d'une vitesse de la lumière éventuellement variable  dans un champ de gravité (ou de manière équivalente dans un champ d'accélération) comme il l'avait d'ailleurs pensé dans un premier temps. Il ne retient pas non plus l'hypothèse selon laquelle le fonctionnement des horloges est affecté par  un champ de gravité.  Le phénomène  doit plutôt  s'interpréter comme la manifestation d'une propriété géométrique de l'espace-temps. 

 

Avant de regarder comment la relation (1) peut s'interpreter comme étant effectivement due à une modification de la géométrie de l'espace-temps, nous allons, grâce au principe d'équivalence, exprimer cette relation non pas en fonction de l'accéleration, mais plutôt en fonction du champ de gravité équivalent et plus particulièrement en fonction des potientiels de gravitation des lieux où se trouvent l'horloge et l'observateur situé un peu plus haut.

 

Par exemple, on peut supposer que l'horloge est placée à la distance r du centre d'une planète ( par exemple à sa surface) et que notre observateur est situé très légèrement plus haut.

 

               

 

Selon Einstein, la relation (1') doit pouvoir se retrouver en supposant qu'en présence d'un champ de gravitation, la métrique de l'espace-temps n'est plus celle de Minkowski  mais celle d'un espace-temps courbe:

 

Considérer que la gravité modifie la géométrie de l'espace-temps permet donc de retrouver la même relation que celle obtenue via l'étude d'un mouvement accéléré.

 

En définitive, la dilatation temporelle engendrée par l'accélération  (ou localement par un champ de gravité d'après le PE) ne peut s'expliquer de façon convaincante en se plaçant dans l'espace-temps pseudo-euclidien de Minkoswki. Pour justifier le phénomène observé, les transformations de Lorentz ne peuvent d'ailleurs pas être appliquées d'un bloc à l'ascenseur lors de son mouvement lorsqu'on passe d'un référentiel d'inertie au référentiel accéléré. On peut éventuellement découper dans le temps l'ascenseur en une mosaique de référentiels inertiels et appliquer à chacun d'eux les transformations Lorentz mais l'ensemble de ces référentiels ponctuellement inertiels ne  permet pas finalement de reconstruire l'espace plat de Minkowski. (Voir également les problèmes engendrés lorsqu'on utilise les transformations de Rindler qui traduisent le passage d'un référentiel inertiel à un référentiel accéléré)

 

De même, si le PE est juste, le référentiel "ascenseur" peut être immaginé comme immobile sur la surface terrestre considéré comme référentiel inertiel pour la durée de l'expérience et auquel cas les lois de la mécanique relativiste basées sur l'espace-temps plat de Minkowski peuvent s'appliquer. Par contre aucun décalage temporelle n'est prévu: c'est le paradoxe de Schild  qui est du même ordre que celui d'Ehrenfest, 2 paradoxes qui laissent à penser qu'une métrique pseudo-euclidienne n'est peut-être pas vraiment appropriée.

 

 

Evidemment, la situation n'est pas totalement transposable à ce qui se passerait si l'ascenseur était immobile  à la surface d'une planète et baignant  dans le champ de gravité engendré par celle-ci; Le champ de gravité généré par un corps sphérique n'est pas uniforme, sa direction et sa valeur change d'un point à un autre. La gravité réelle ne peut donc pas être simulée par un champ d'accélération uniforme.

Autrement dit les effets de marée inhérents  à un vrai champ de gravité ne peuvent pas être reproduits  par un champ d'accélération uniforme. Néanmoins sur une zone très limitée au dessus de la surface terrestre on peut considérer le champ de gravitation comme étant uniforme et appliquer dès lors le principe d'équivalence.

 

Pour finir et à titre d'exemple, faisons le calcul dans le cas de la Terre ( g = 9.8 N.kg-1). L'horloge est située à la surface terrestre et l'observateur à une hauteur  h = 2m.

On obtient :

T '= (1+ 2,17. 10 -16 ).To   soit   (T '-To) /To = 2,17. 10 -16 s/s  soit encore une différence de 2 dixièmes de millionième de milliardième de seconde pour chaque seconde écoulée au niveau de la surface terrestre.....Au bout d'un siècle la différence est d'environ  6,8 .10 -7 s soit encore 0,68 microseconde........

 

Autant dire tout de suite qu'habiter au raz de la surface terrestre ne nous ferait pas gagner beaucoup de "vie" sur une autre personne vivant 2m plus haut! Inutile donc de déménager si vous habitez au 2ième ou même au 5 ième étage ..Parcontre l'effet serait largement perceptible sur une étoile à neutrons où le champ de pesanteur est environ 1016 fois plus important qu'ici sur Terre !! Malheureusement, on ne pourrait pas vivre sur une telle étoile, nous serions instantanément intégré à l'étoile tellement son champ de pesanteur est intense !

A supposer pourtant que la vie soit possible sur une telle étoile, que verrait notre observateur des phénomènes ayant lieu quelques mètres en dessous de lui, là ou le champ de gravité est bien plus important ? Les mouvements des personnes vivant plus bas lui sembleraient d'une lenteur incroyable; Regarder quelqu'un fumer une cigarette durerait plusieurs heures à son échelle. Notre observateur verrait cette personne littéralement vivre au ralenti. Si après plusieurs années d'observations (certes bien ennuyeuses..), notre expérimentateur décidait enfin d'aller serrer la main de son frère jumeaux resté plus bas, il le verrait maintenant parler et évoluer normalement mais ce n'est pas la main d'une personne de son âge qu'il serrait mais bien plutôt celle de  quelqu'un de beaucoup plus jeune.....

 

 

En conclusion, retenons que la gravitation  est capable de modifier l'écoulement du temps.  Le temps s'écoule d'autant plus lentement que le champ de gravité est intense : c'est le phénomène de "dilatation gravitationnelle du temps".

 

Si cet effet est difficilement observable ici sur Terre, il est mesurable en prenant comme petite horloge un atome situé sur le Soleil où le champ de gravitation est beaucoup plus important. En effet, lorsqu'un atome est excité, certains de ses éléctrons changent régulièrement "d'orbites" pour revenir dans un état énergétique plus fondamental en restituant le surplus d'énergie sous forme de photons dont les fréquences peuvent se déduire de la théorie de "Bohr-Sommerfeld".

L'effet de dilatation du temps par le champ gravitationnel du Soleil se traduira par un décalage vers le rouge des raies d'émission des atomes : c'est ce qu'on appelle "l'effet Einstein".

Le calcul est relativement simple si l'on admet que les "périodes de vibrations" des atomes (dont les raies spectrales sont une signature), sont seulement caractéristiques de l'atome lui-même et ne dépendent en aucune manière du champ de gravité dans lequel ils se trouvent. Par contre, en présence d'un champ de gravité, les périodes de vibrations de ces atomes et donc les périodes des photons émis, se verront ralenties pour un observateur lointain. Les fréquences des raies spectrales mesurées par cet observateur seront donc plus petites, ce qui correspond à des longueurs d'ondes plus grandes pour les photons émis, d'où le décalage vers le rouge.

 

      

 

 

 

3°) Champs  de gravitation et  espaces  courbes

 

Une analyse détaillée du principe d'équivalence montre qu'une théorie relativiste de la gravitation ne peut se construire dans un espace plat.

Le principe d'équivalence s'appuie en effet sur le fait que tous les corps tombent de la même manière. Les trajectoires des corps d'épreuve ne dépendent donc pas de leur nature comme si ces trajectoires étaient déjà inscrites dans l'espace sous-jacent. On peut dès lors supposer que la gravitation est une propriété de l'espace lui-même. De plus, les champs de gravité étant différents d'un lieu à l'autre, les trajectoires seront donc plus ou moins courbées si bien que l'espace-temps doit changer d'un lieu à un autre ce qui n'est pas le cas des espaces euclidiens ou pseudo-euclidien comme l'espace de Minkowski. Le choix d'Einstein va donc s'orienter vers les espaces courbes c'est à dire les espaces "Riemanniens".

La seconde étape est d'établir une connexion entre les espaces abstraits de Riemann et la réalité physique. Ce lien sera la matière (et l'énergie car l'énergie c'est aussi de la matière) puisque c'est elle qui crée le champ de gravitation. Ainsi, l'espace-temps sera courbé, modelé par la matière, source du champ gravitationnel. Il reste évidemment à comprendre et ce n'est pas une mince affaire, comment la courbure de l'espace-temps dépendra des masses, c'est à dire quelles sont les équations qui détermineront la structure de l'espace -temps en fonction des masses. Ces équations devront également être covariantes afin d'inclure le principe de relativité générale.

 

 

                                                                                          

 

              1. Déformation de l'espace-temps par les masses                                                                                                                    2.Rayon lumineux dévié par une masse

 

 

 

Comment la matière déforme l'espace-temps: voir vidéo

 

      

                   Riemann

Bernard Riemann ( 1826-1866)

Riemann se rendit de Göttingen à Berlin en 1846 pour étudier avec Jacobi, Dirichlet et Eisenstein. En 1849 il retourna à Göttingen et sa thèse de doctorat, supervisée par Gauss, fut déposée en 1851. Dans son rapport sur la thèse, Gauss décrit Riemann comme ayant une originalité glorieusement fertile.

Sur recommandation de Gauss, Riemann fut nommé à un poste à Göttingen. Le travail de Riemann "Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen", écrit en 1854, est devenu un classique des mathématiques, et ses résultats furent utilisés par Albert Einstein dans la théorie de la relativité générale. La chaire de Gauss à Göttingen fut reprise par Dirichlet en 1855 et, après sa mort, par Riemann. Déjà à cette époque, il était atteint de tuberculose et il passa les dernières années de sa vie en Italie pour tenter d'améliorer son état.

Les idées de Riemann concernant la géométrie de l'espace ont eu un profond impact sur le développement de la physique théorique moderne et ont apporté des concepts et des méthodes utilisés plus tard en théorie de la relativité. Il était un penseur original et de nombreux théorèmes, méthodes et concepts portent son nom.

Les équations de Cauchy-Riemann (connues plus tôt) et le concept de surface de Riemann apparaissent dans sa thèse de doctorat. Il clarifia la notion d'intégrale en définissant ce que nous appelons maintenant l'intégrale de Riemann. Il est aussi célèbre pour son 'hypothèse de Riemann' sur les zéros de la fonction zêta.

 

 

4°) Le principe de relativité générale

 

Le principe de relativité générale des mouvements est pour Einstein une loi fondamentale de la nature. Quelqu'un oserait-il d'ailleurs imaginer que la nature soit faite de telle manière que les lois qui la gouvernent soient différentes selon qu'on les comtemple depuis tel ou tel lieu, dans telle ou telle circonstance ? C'est pourqoui Einstein est intimement persuadé que tous les référentiels doivent être équivalents pour décrire le comportement de la nature. Les lois de la nature et donc les équations qui les traduisent doivent garder la même forme quelque soit l'état de mouvement du système de coordonnées. C'est ainsi par exemple que l'équation du mouvement d'un corps par rapport à un référentiel quelconque gardera en définitive la même forme que celle obtenue dans un référentiel inertiel (ce qui n'était pas le cas en mécanique classique puisqu'il fallait tenir compte des forces d'inertie).

 

Ce sont en partie les conséquences du principe d'équivalence qui poussent définitivement Einstein vers une relativité générale des mouvements puisque c'est ce même principe qui nous montre déjà que les référentiels en chute libre dans un champ de gravité (donc accélérés) n'ont rien de particuliers, d'absolus, étant donné qu'ils peuvent tout aussi bien s'apparenter à des référentiels inertiels. Tout n'est donc qu'une question de point de vue! Référentiels accélérés et référentiels d'inertie doivent finalement être sur un pied d'égalité pour exprimer les lois de la nature.

Par exemple, l'expérience de l'ascenseur nous a révélé que tous les corps situés dans un référentiel accéléré par un champ gravitationnel se comportaient exactement de la même manière que s'ils étaient dans un référentiel inertiel en l'absence de gravitation. Ces corps sont soit immobiles, soit animés d'un mouvement rectiligne uniforme. Ils réagissent conformément au principe d'inertie si bien que l'équation de leur mouvement est celle qu'on utilise normalement dans les référentiels galiléens en l'abscence de toutes forces, à savoir :  (loi d'inertie)

En résumé, tout corps soumis à un champ de gravité décrit, par rapport aux référentiels en chute libre dans ce champ, une trajectoire rectiligne , une droite, c'est à dire la courbe de longueur extrémale en géométrie euclidienne.

 

 

Si dans ce système de coordonnées localement inertiel la loi du mouvement est bien celle de la loi d'inertie, alors d'après le principe de relativité générale, cette loi doit prendre la même forme (covariance généralisée) pour tous les autres systèmes de coordonnées, c'est à dire pour tous les autres référentiels vis à vis desquels la gravitation est toujours plus ou moins présente, et par rapport auxquels les corps qui se meuvent dans l'ascenseur ne décrivent plus des droites mais des trajectoires courbes. Or ces trajectoires courbes peuvent elles aussi être vues comme des trajectoires de longueurs extrémales mais dans un espace courbe : c'est ce qu'on appelle des "géodésiques" et dont l'équation est du type :

Cette expression n'est évidemment pas sans rappeller la loi d'inertie dans un espace euclidien mis à part que le symbole "D" représente ce qu'on appelle la "dérivée covariante", qui est une généralisation de la dérivée classique dans un espace plat :

 

 

Mathématiquement parlant, par rapport à tous les référentiels autres que celui en chute libre dans le champ gravitationnel, les corps décrivent des courbes qui localement deviennent des droites par rapport à ce référentiel en chute libre. Ces courbes sont donc les plus courtes (car les plus "droites" possibles) que l'on puisse tracer sur un espace courbe : elles sont les géodésiques de cet espace.

 

Ainsi, quelque soit l'état de mouvement du référentiel d'étude et le système de coordonnées qui lui est affilié, l'équation de la trajectoire doit rester du type : obligeant ainsi Einstein à se tourner vers les géométrie non euclidienne (pour un référentiel accéléré, il n'est pas possible de trouver un système de coordonnées cartésien global donc sous tendant un espace plat, et permettant d'obtenir une loi du mouvement du type )

                                                                                                                        

 

Selon Einstein, et en vertu du principe de relativité générale, si l'on souhaite que la loi d'inertie reste vraie dans tous les référentiels et pas seulement dans les référentiels inertiels, il faut alors imaginer que les corps d'épreuve suivent les géodésiques d'un espace courbe. En d'autres termes, on supprime les forces de gravitation pour les inscrire via la courbure dans l'espace-temps et on libère les corps d'épreuve lesquels vont suivre les voies de la courbure, les géodésiques. La loi de l'inertie est ainsi généralisée à tous les référentiels et la notion de force (de gravitation) est supprimée et encodée dans la courbure de l'espace-temps via la connexion. Au final, les corps d'épreuve ne subissent en réalité aucune force mais ne font que suivre les chemins de l'espace courbe (conclusion à laquelle on aboutit déjà de façon intuitive seulement d'après le principe d'équivalence-Voir 3°).

 

                                                                                                                    

 

En conclusion, toutes particules "libres" sur lesquelles n'agit aucune force (sinon la gravité) se déplacent le long d'une géodésique de l'espace temps.

Dit d'une autre manière, les lois de la physique en présence de gravitation doivent prendre la même forme qu'en son absence.

 

 

       

            

                                 

           

                     

  La Terre suit une géodésique de l'espace-temps déformé par le  Soleil

                     (animation vidéo/format quick time/4,3 Mo)

                                                                                                                                    

            

 

Si le principe d'équivalence est le véritable pilier de la future théorie de la gravitation, le principe de relativité en sera le "moteur" puisque c'est en suivant "corps et âme" ce principe qu'Einstein acceptera d'abandonner définitivement le cadre de la géométrie euclidienne pour adopter celui des géométries courbes. C'est toujours en suivant ce même principe, mathématiquement traduit par le principe de covariance généralisée, qu'il atteindra enfin les équations du champ c'est à dire les équations qui permettent d'obtenir la "forme" que doit prendre l'espace-temps en présence de matière et d'énergie.

Pour celà Einstein va devoir maîtriser les géométries non-euclidiennes et apprendre à manipuler avec rigueur ces nouveaux "objets" mathématiques que sont les tenseurs. Lui qui voyait dans les mathématiques "un luxe superflue", se voit désormais obligé de faire appel à un vieil ami, Marcel Grossman, brillant professeur de mathématique et dont la thèse traitait, lorsqu'il était encore étudiant, justement des géométries non euclidiennes. Ce sera pour lui une tâche difficile et laborieuse, et bien que se révélant très bon mathématicien il maniera ces outils mathématiques avec une certaine maladresse. Comme le dira plus tard Hilbert : " N'importe quel enfant dans les rues de Gottigen en connaît plus qu'Einstein sur la géométrie à 4 dimensions !". La phrase semble assassine mais reflète davantage un sentiment de frustation que de mépris. (Comment une telle théorie a-t-elle pu  être élaboré par un parfait inconnu et non à Gottigen, centre mondial de la recherche mathématique ?)

En effet, alors qu'Einstein butait depuis plusieurs mois sur la forme du tenseur représentant le membre de gauche des équations du champ, il se vit invité par David Hilbert à Gottingen afin d'exposer sa nouvelle théorie. De cette rencontre suivront plusieurs correspondances entre le célèbre mathématicien pour qui la géométrie riemannienne n'a plus de secrets, et Einstein. Lors de ces multiples échanges, Einstein exposera ses problèmes et ses doutes quant à la forme du tenseur qu'il recherche. Hilbert le conseillera, l'aiguillera et, ainsi informé des dernières avancées de la théorie, se lancera lui aussi dans la recherche de ce fameux tenseur. Hilbert est un mathématicien hors pair  et il progresse à pas de géant comme Einstein a tôt fait de le constater. Einstein sait qu'il peut se faire coiffer sur le fil alors qu'il a réalisé 90% du travail. Il se lance alors dans une recherche effrénée qui le conduira enfin à trouver la bonne expression du tenseur. Hilbert de son côté, aboutit lui aussi à la bonne expression et sans véritablement avertir Einstein, publiera ses propres résultats. Un peu désabusé, Einstein écrira quelques temps plus tard à son ami Zangger :" La théorie de la relativité générale est d'une beauté incomparable mais seul un collègue l'a réellement comprise et c'est celui-là qui cherche d'une manière habile, à se l'approprier. De mon expérience personnelle, j'ai rarement eu l'occasion de pouvoir mieux étudier la misère humaine qu'à propos de cette théorie et de ce qui s'y rapporte, mais celà ne me dérange pas"

        

              Hilbert

           (1862-1943)

.Malgré tout, c'est Einstein qui fit le travail et non Hilbert. Il fit le travail car les mathématiques seules n'y suffisaient pas, l'intuition physique exceptionnelle d'Einstein était sans conteste plus que nécessaire.

 

 

5°) Les  équations  du  champ  (1915)

 

Comment différencier de façon intrinsèque un espace courbe d'un espace plat ? C'est au génial mathématicien Carl Gauss que l'on doit la première théorie des espaces courbes même s'il s'est cantonné aux espaces courbes localement euclidiens (c'est justement de cette théorie dont la relativité générale a besoin puisque localement les corps soumis à un champ gravitationnel se déplacent de la même manière que dans un espace plat sans forces). La différence entre un espace courbe et un espace euclidien se ramène à la connaissance de la métrique de cet espace, c'est à dire la distance "ds" séparant deux points très proches l'un de l'autre. Cette grandeur est très importante puisqu'elle reste inchangée dans une transformation quelconque du système de coordonnées comme on le verra tout à l'heure. C'est un invariant fondamental.

 

Pour un un système de coordonnées quelconque (ie pas fatalement rectiligne et orthogonale) la métrique d'un espace, qu'il soit plat ou courbé s'écrit :

 

                                                                                                                                  

(L'espace sera courbe s'il n'existe aucun système de coordonnées pouvant le sous-tendre dans lequel la métrique est plate c'est à dire de la forme :

 

Comme il a été dit tout à l'heure ds2 est un invariant dont la valeur est par conséquent indépendante du choix du système de coordonnées. Cette grandeur va donc jouer un rôle très important en "relativité générale", car d'une part elle répond bien au principe de covariance généralisée et d'autre part elle décrit de façon intrinsèque la "forme" de l'espace. De plus et c'est essentiel, elle possède une  réelle signification physique puisqu'elle représente le "temps propre".

 

 

Dans un espace courbe les vecteurs de base ne cessent de changer d'orientation afin d'épouser le "relief" si bien que les potentiels  de métriques gij vont varier avec la position et le temps (leurs valeurs sont fonction des coordonnées). Ils vont donc devenir les variables essentielles de la nouvelle théorie en jouant un rôle similaire à celui joué par le potentiel gravitationnel en théorie Newtonnienne. Si les potentiels de métrique décrivent ainsi la géométrie de l'espace, il s'agit pour Einstein de les relier d'une manière ou d'une autre aux objets physiques qui structurent, déforment l'espace-temps, c'est à dire la "masse-énergie". Les équations de la "relativité générale" recherchées par Einstein doivent donc se présenter comme une sorte d'égalité entre la géométrie de l'espace et la matière-énergie. Condition sine qua non, ces équations doivent également répondre au principe de covariance généralisée, c'est à dire qu 'elles doivent prendre la même forme dans n'importe quel système de coordonnées aussi compliqué soit-il.

 

Dans un premier temps Einstein va s'appuyer sur l'équation de Poisson car bien que non relativiste, celle-ci relie le potentiel de gravitation F , à la densité de matière r.

 

 

                                                                                             (équation de Poisson)                                              Poisson (1781-1840)

 

Cette relation montre que le potentiel de gravitation est relié à la matière de façon linéaire par l'intermédiaire de ses dérivées secondes. Le premier membre des équations du champ en relativité générale, membre supposé décrire la géométrie de l'espace-temps, devra donc inclure d'une manière ou d'une autre les dérivées secondes, non pas du potentiel de gravitation, mais des potentiels de métrique gij qui on l'a vu, jouent un rôle analogue.

En fait, Einstein va commencer par essayer de généraliser le membre de droite de l'équation de Poisson : la grandeur recherchée devra inclure non seulement la densité de matière mais aussi l'impulsion (dès qu'un corps est en mouvement, son énergie augmente et donc sa masse (conception newtonnienne) d'après la relation E= g.m.c2. Pour évaluer l'effet gravitationnel d'un corps il faut donc combiner sa masse au repos avec son impulsion). Il s'agit finalement d'un tenseur de rang 2, le tenseur "énergie-impulsion" qu'Einstein notera Tij . Il est la généralisation du "quadrivecteur impulsion" de la relativité restreinte.

Ce tenseur doit possèder les propriétés de symétrie et de divergence nulle afin de respecter les lois de conservation de l'impulsion et de l'énergie.

 

On peut montrer que pour un gaz parfait de densité de matière  et de pression P, le tenseur "énergie-implusion"  s'écrit  :     

 

 

Le membre de gauche des équations du champ sera donc recherché comme étant un tenseur de rang 2, symétrique et de divergence nulle et dépendant linéairement des dérivées secondes des potentiels de métriques. La recherche de ce tenseur sera pour Einstein une étape longue et difficile car il maîtrise encore bien mal à cette époque ces nouveaux objets. Malgré ses compétences limitées dans cette branche des mathématiques, Einstein obtiendra enfin la bonne expression de ce fameux tenseur (appelé aujourd'hui tenseur d'Einstein) :

                                                                                       

                                                                              

                                               

 

          Il se calcule via les symboles de Christoffel  :

L'expression mathématique des symboles de Christoffel s'obtient à partir de la métrique:

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                                                               Christoffel

                                                                                                                                                                                                               (1829-1900)

  

                                                                                                                               

  

 (Pour un espace pouvant être sous-tendu par un système de coordonnées cartésien, donc plat, tous les symboles de cristoffel sont nuls.)

 

 

Même si à l'époque Einstein avait procédé d'une manière différente et surement plus fastidieuse,  le tenseur recherché peut  rapidement s'obtenir  à partir de la deuxième identité de Bianchi:

 

                                                    

Il s'agit bien d'un tenseur d'ordre 2, symétrique, de divergence covariante nulle et dépendant linéairement  des coefficients de la métrique ainsi que de ses dérivées secondes en accord avec les propriétées du tenseur " énergie-impulsion".                                                            

 

 

Les équations définitives du champ paraîtront finalement le 25 novembre 1915 dans un article publié dans les "Comptes rendus de l'Académie royale des sciences de Prusse". Elles se présentent sous la forme d'une loi de proportionnalité entre le tenseur d'Einstein Eij qui décrit la géométrie de l'espace-temps, et le tenseur "Energie-impulsion" Tij qui décrit le contenu matériel et énergétique de cet espace-temps :

 

                                                                                                                                       

 

 

Cette équation s'obtient par comparaison avec l'équation de Poisson en se plaçant dans la limite des champs faibles:

 

 

Comme expliqué précédemment, le tenseur d'Einstein doit être proportionnel au tenseur "énergie-impulsion" :  

 

 

 

 

 

Les équations du mouvement peuvent se déduire des équations du champ. Fondamentalement, si le tenseur Tij dicte à l’espace-temps comment il doit se courber, l’espace-temps quant à lui, dicte à la matière comment elle doit se mouvoir.

En effet, une des propriétés du tenseur d’Einstein (  ) est d’avoir une divergence covariante nulle, ce qui entraîne automatiquement une divergence covariante nulle pour le tenseur « énergie- impulsion » Tij .

 

          

 

Les équations du mouvement peuvent aussi se déduire du principe de moindre action. Ce principe impose à la trajectoire réelle d'être stationnaire vis à vis de l'ensemble des trajectoires possibles. Ainsi, l'application du principe de moindre action doit aboutir aux équations du mouvement c'est à dire à l'équation des géodésiques.

 

           

L'équation du mouvement d'une particule dans un champ de gravité est donc :

Cette équation est finalement la généralisation de l'équation du mouvement en mécanique classique d'une particule libre.

 

 

6°) Premières vérifications  expérimentales  de la  théorie

 

 6-1) Calcul de l'avance du périhélie de Mercure

 

     a) En mécanique classique

 

                                                     

 

Depuis le XIX siècle, une irrégularité a été constatée dans le mouvement de la planète Mercure. Cette planète décrit approximativement une ellipse dont les axes tournent dans le même sens que le mouvement de rotation de la planète de sorte qu'à chaque tour le périhélie pivote d'un angle Dq.

Les observations donnent une avance totale du périhélie  de 574,10'' par siècle et dont 528,8'' peuvent être expliqués par les perturbations des autres planètes (277,9" est dûe à Vénus, 153,6" à Jupiter, 90" à la Terre, 7,3" à Saturne et 2,5" à Mars)

Une autre partie (2,55") peut aussi être expliquée en tenant compte de l'aplatissement du Soleil (due à sa rotation sur lui-même). Il reste néanmoins une avance résiduelle de 42,7" d'arc par siècle que la théorie de Newton est incapable d'expliquer.

 

                   

                       Le Verrier

                      (1811-1877)

     

 

D'un point de vue théorique, pour traduire les perturbations dûes aux différentes planètes du système solaire ou encore les perturbations engendrées par l'applatissement du Soleil , il suffit de rajouter à l'expression classique U(r) de l'énergie potentielle du système {Soleil-Planète} un terme correctif noté U'(r). En terme de forces, celà revient à rajouter à la force gravitationnelle FG exercée par le Soleil, une force résiduelle telle que :

L'équation du mouvement s'écrit alors :

 

                     

 

La théorie de la relativité restreinte permet de rajouter  une nouvelle correction: on trouve une avance du périhélie supplémentaire de 7,15'' d'arc de cercle par siècle:

 

 

Malgré cette ultime correction, il reste encore une avancée du périhélie inexpliquée  de 35,55 ''  par siècle !

 

Remarque: L'équation différentielle (A) peut aussi être obtenue en appliquant la deuxième loi de Newton (méthode 2)

 

 

 

b) Correction relativiste

 

Avec une très bonne approximation, le Soleil peut être assimilé à une sphère statique de rayon r1 , de masse M, et à l'intérieur de laquelle la matière est répartie de façon uniforme. On peut montrer que la métrique de l'espace-temps à l'extérieure de cette sphère est la métrique de Schwarzschild :

 

                                                                      

                             

   Schwarzschild  (1873-1916)                    Coordonnées sphériques

 

 

                       

L'équation du mouvement s'écrit :

 

 

Le mouvement de Mercure a lieu dans le plan équatorial du soleil :

 

                                                                                      

 

Pour déterminer la valeur de E, on  repart de l'équation des géodésiques mais  paramétrée par rapport à l  plutôt que t  (car t =0 pour un photon):

 

 

 

A partir de l'équation (14), on peut écrire :

 

 

 

 

 

Si on compare les deux équations, on peut faire l'analogie avec les différentes grandeurs intervenant en mécanique classique en constatant:

 

                                 

2ième méthode

 

 

6-2) Déviation des rayons lumineux au voisinage du Soleil

 

a) En mécanique classique

                    

La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0,87 seconde d'arc pour un rayon lumineux frolant la surface solaire. (calcul effectué la première fois par Soldner en 1801)

 

                                   

 

b) Correction relativiste

  

 

 

La solution de cette équation sera une meilleure approxination que la précédente, elle est :

 

                                

Illustrations :

 

                                                                                                          

                                 Schéma 1                                                                                                                                        Schéma 2

 

  

 

La déflexion put être mesurée en 1919 lors d'une éclipse totale de Soleil. Les résultats furent en accord avec la théorie : 1,61" < d(exp) < 2,16"

 

 6-3) Effet Einstein: décalage vers le rouge

 

             

 

 

La différence de fréquence est très faible et par conséquent difficilement mesurable même avec les meilleurs spectroscopes de l'époque. La moindre perturbation peut totalement masquer l'effet Einstein. Il faudra véritablement attendre 1960 pour que l'expérience de Pound et Rebka permette de mesurer un décalage de fréquences avec une précision de 1% ne laissant dès lors plus aucun doute quant à la réalité du phénomène.

              

 

L'expérience de Pound et Rebka, effectuée en 1960 dans une tour de l'université de Harvard, consiste à mesurer  à une hauteur h=22,5 m, la fréquence d'une onde électromagnétique émise par un atome de Cobalt 57 situé au niveau du sol terrestre c'est à dire là où le champ de gravité est légèrement plus intense. La théorie prévoit que la fréquence mesurée à 22,5 m d'altitude doit être plus faible  ce qui se traduit par un décalage vers le rouge de l'onde émise depuis le sol.

 

                        

 

  6-4) L'effet Shapiro

                  

                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

En 1964, Shapiro démontra qu'un rayon lumineux n'était pas seulement dévié en passant près d'une masse, mais également que la durée de son trajet était allongée par rapport à une géométrie euclidienne. Il calcula que le retard devait atteindre environ 200 microsecondes, donc parfaitement mesurable, pour une ligne de visée rasant le Soleil. Il suggéra alors de mesurer systématiquement la durée mise par un signal radar pour effectuer le trajet aller-retour entre la Terre et une planète passant derrière le Soleil (pour que l'effet soit maximal). Cela fut d'abord accompli avec des échos radar sur Mars, Vénus ou Mercure, avec une précision de l'ordre de 20%. Le résultat est très net : la durée nécessaire à un signal radar pour faire l'aller-retour Terre-Planète augmente brutalement juste avant que la planète passe derrière le Soleil et diminue tout aussi brutalement quand celle-ci réapparaît.

On a également utilisé les liaisons radio avec les sondes spatiales Mariner 6, 7 et 9 et, la précision atteint même aujourd'hui 0.1% avec les réflecteurs des sondes Viking qui se sont posées sur Mars en 1976.

(source : http://cdfinfo.in2p3.fr/Culture/Cosmologie/cosmorg5.html)

 

                                                                                                    

 

 

 Faisons le calcul pour un rayon frolant la surface du soleil :

 

 

 

Le premier terme représente le temps nécessaire au  photon pour parcourir la distance "dr" dans un espace-temps plat. Les autres termes représentent  le temps supplémentaire nécessaire induit par le champ gravitationnel généré par le Soleil (cf phénomène de dilatation gravitationnel du temps).

(L'effet Shapiro est davantage un phénomène lié au ralentissement du temps au voisinage d'une masse qu'un effet relatif à la seule déformation de l'espace par le Soleil. Considerer que la trajectoire du photon est parfaitement rectiligne est  donc sans grande incidence sur le résultat final.)

 

Par exemple, pour un signal électromagnétique partant du Soleil (r = ro= 700000 km) et allant jusqu'à la Terre ( r = R2=150.106 km) , aux 1250 secondes normalement nécessaires si l'espace-temps était plat, il faudra rajouter le laps de temps supplémentaire Dt :

 

 

                

 

 

 

Pour un signal venant de Mars ( r = R1 ) jusqu'à la Terre ( r = R2) en rasant la surface du Soleil, il faudra alors rajouter le laps de temps supplémentaire Dt:

 

Le calcul rigoureux, c'est à dire pour une trajectoire du photon non rectiligne, est un peu plus long :

Le mouvement ayant lieu dans le plan équatorial du Soleil, on peut réutiliser les équations (10'), (11') et (14)  démontrées un peu plus haut à savoir :

                                                                    

 

 

                        

                                              

Pour un signal venant de Mars ( r = R1 ) jusqu'à la Terre ( r = R2) en rasant la surface du Soleil, il faudra alors rajouter le laps de temps supplémentaire Dt':

 

                      

 

Remarque: La valeur obtenue correspond bien  à celle  mesurée par un observateur terrestre étant donné que la Terre est située très loin dans le champ de gravité du Soleil  si bien qu'on peut écrire Dt'=Dt')                                              

 

 

 

6-5) Précession d'un gyroscope

 

a) L'effet  De Sitter ou précession géodétique

Un gyroscope est placé dans un satellite en orbite autour de la Terre. Au début de l'expérience, l'axe du gyroscope pointe précisément dans la direction d'une étoile dont  le mouvement est parfaitement connu (IM Pégasus). Après plusieurs rotations du satellite, l'axe du  gyroscope a très légèrement pivoté et ne pointe plus exactement dans la direction de l'étoile. Cette effet, appelé "précession géodétique" est un effet purement relativiste lié à la courbure de l'espace temps  engendré par la présence du corps massif qu'est la Terre; Il a été prédit dès 1916 par l'astronome Hollandais Willem De Sitter

En mécanique classique comme en relativité restreinte, l'espace temps est plat et  aucune déviation de l'axe du gyroscope par rapport à la direction de l'étoile n'est prévu comme on peut le vérifier :

 

 

 

 

 

 

 

    

 

En relativité générale, le vecteur moment cinétique du gyroscope est transporté parallèlement le long de la géodésique correspondant à la trajectoire du satellite. Or dans un espace courbe, le transport parallèle d'un vecteur le long d'une geodésique ne ramène pas le vecteur dans sa position initiale. L'une des 2 missions assignée à l'expérience "gravity probe B" est de mesurer cet effet.

 

                                                                              

 

                    

L'équation permettant de décrire le transport parallèle du vecteur s i  le long d'une géodésique est:

                                                               

 

 

 

                                    

 

b) L'effet Lense-Thirring

La solution de Schwarzchild décrit la géométrie de l’espace-temps à l’extérieur d’un corps massif sphérique et statique de masse M. Toutefois, la Terre comme la plupart des objets astrophysiques sont en rotation. Dans cette situation, la solution ne peut rester sphérique car l’axe de rotation définit une direction privilégiée qui brise l’isotropie.  Il s’agit donc de donner l’expression d’une métrique axisymétrique et stationnaire et dont les composantes contravariantes  seront donc indépendantes de t et f .

Le premier a avoir déterminé la forme exacte de cette métrique est Roy Kerr en 1963. Exprimée en fonction des coordonnées de Boyer-Lindquist elle s’écrit :

                          

                                                                                               

La présence du terme gtf dans la métrique implique plusieurs changements quant aux trajectoires possibles de particules libres. Plus particulièrement, lorsqu’une particule tombe de façon radiale, elle acquiert une vitesse angulaire de même sens que l’astre en rotation, ce qui traduit une rotation du référentiel inertiel dans lequel la particule se trouve par rapport aux référentiels inertiels situés très loin de la source du champ gravitationnel : On parle alors « d’entraînement des référentiels inertiels » ou encore de rotation de l’espace-temps. Plus connu sous le nom anglosaxon de "frame-dragging", cet effet a été prédit dès 1918 par les physiciens Josef Lense et Hans Thirring.

                                                                                           

             

 

   

 

De même qu'une particule sans moment cinétique initial acquiert au cours de sa chute une vitesse angulaire, un gyroscope en chute libre au voisinage d'un  astre en rotation verra son axe de rotation effectuer un mouvement de précession.  Même si l'effet est très faible au regard de la précession géodétique, il a pu être mesuré lors de l’expérience « Gravity-Probe B » en 2007: Les résultats de l'expérience (37,27 milli-arcseconde/an) sont en bon accord avec la théorie (39,2 milli-arcseconde/an).

En prenant comme condition initiale l'axe du gyroscope dans le plan    , l'effet De Sitter se traduit par une légère rotation de l'axe du gyroscope uniquement dans ce plan. La composante de   le long de l'axe   restera nulle ce qui n'est pas le cas si on tient compte de l'effet Lense-Thirring. Pour calculer de quel angle l'axe du gyroscope va dévier dans cette direction, il suffit de s'interresser aux variation de au cours du temps. Pour cela, on peut se placer dans le référentiel localement inertiel et pour lequel  

 

Dans le référentiel inertiel local, on peut montrer que le vecteur    doit rester constant . La précession de l'axe du gyroscope traduit en réalité une rotation du RLI  par rapport aux référentiels inertiels très éloignés.  Ainsi lorque le satelitte Gravity Probe B aura fait un tour complet et pointera à nouveau et  à l'aide de son telescope l'étoile IM Pégasi, l'axe du gyroscope aura pivoté d'un certain angle en raison de la rotation du référentiel local inertiel dans lequel il se trouve et par rapport auquel il reste fixe. Après un périple de 1 an, l'angle     dont a tourné le gyroscope autour de l'axe Oz a pu être mesuré avec une précision de 10%.

 

                     

                                                            

7°) Trous noirs et trous de vers

7-1) Trou noir  et trou de ver de Schwarzschild

7-1-1) Géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild

La métrique d'une espace-temps à symétrie sphérique est :

 

 

                                                           

 

 

 

                                                                    

 

Raccordement des solutions intérieures et extérieures

                                                            

 

 

7-1-2) Trou noir de Schwarzschild

La métrique d’un espace-temps vide à symétrie sphérique c'est-à-dire à l’extérieur d’une étoile qui ne tourne pas sur elle même  fut établi pour la première fois en 1916 par Karl Schwarzschild.

Les coordonnées utilisées par Schwarzschild font apparaître une singularité en r =0 mais aussi en r= rs =2GM/c2  valeur pour laquelle le temps semble se figer pour un observateur  extérieur. Cette bizarrerie était à l’époque d’ordre purement mathématique car aucun objet céleste ne semblait pouvoir avoir un rayon plut petit que le rayon de Schwarzschild "rs". Par exemple pour une étoile comme le soleil dont le rayon vaut environ 700 000 km, la valeur de rs vaut à peu près 3 km....

Dans les années 30, certains physiciens de talents comme Chandrasekhar ou encore Oppenheimer se sont  intéressés à l’évolution des étoiles en fin de vie : L’effondrement gravitationnel d’une étoile lorsque celle-ci a épuisée son combustible, peut-elle donner naissance à un corps dont le rayon serait plus petit que rs ?

Un des premiers à s’être passionné  pour ce genre de problèmes  est le physicien Indien Chandrasekhar. Il étudia les étoiles effondrées de types  « naines blanches » vestiges d’anciennes étoiles dont la masse initiale est d’environ 8 masses solaires au maximum. Ce type d’étoile avait déjà été observée et  étudiée par Eddington mais on avait encore beaucoup de mal à comprendre comment une telle étoile pouvait rester en équilibre au fur et à mesure qu’elle se refroidissait. Chandrasekhar s’attaqua au problème et en combinant les lois de la mécanique quantique avec celles de la relativité générale, il put montrer dès 1930 qu’une naine blanche peut rester en équilibre grâce à la pression de dégénérescence des électrons si sa masse reste inférieure à  1,4 Mo. Mais qu’advient-il si la masse de l’étoile effondrée dépasse cette valeur appelée  aujourd’hui "limite de Chandrasekhar" ? Chandrasekhar pensait qu’il était possible que l’étoile finisse par imploser complètement pour engendrer un « trou noir » mais pour  Eddigton, les grosses étoiles devaient perdre suffisamment de masse lors de leur agonie pour finalement laisser un résidu dont la masse ne dépasserait jamais la limite de Chandrasekhar. Et si toutefois tel n’était pas le cas, il devait exister une loi encore inconnue empêchant toute étoile de s’effondrer davantage pour donner naissance à un trou noir.

                                                        Chandrasekhar (1910-1995)                                                                                   Eddington (1882-1944)

Quelques années plus tard en 1933, Zwicky et Baade estimèrent que les grosses étoiles (masses >8 Mo) implosaient en fin de vie pour donner naissance non pas à une naine blanche, mais à ce qu’ils appelèrent  « une étoile à neutrons » et dont le rayon est de l’ordre de 10-20 km. Toute l’énergie produite lors de la formation de la sphère de neutrons suffit à expulser le reste de l’étoile si bien que celle-ci explose littéralement  provoquant un phénomène extrêmement lumineux que Zwicky appela « supernovae » .

 

                                 F.Zwicky (1898-1974)                                                                                                              W.Baade (1893-1960)

 Oppenheimer pris l’idée au sérieux et étudia si les étoiles à neutrons pouvaient avoir une masse arbitrairement élevée auquel cas aucun trou noir ne pourrait jamais exister comme le pensaient un  grand nombre de physiciens à l'époque.

Aidé de son étudiant Volkoff , il démontra en 1939 qu’une étoile à neutrons ne peut rester en équilibre si sa masse excède environ 3 Mo (limite d'Oppenheimer-Volkoff). Toute étoile engendrant  sur la fin une sphère de neutrons de masse supérieure à 3Mo donnerait inévitablement un trou noir, c’est à dire une région de l’espace-temps causalement déconnectée du reste de l’univers.  Autrement dit aucune géodésique de genre lumière (les trajectoires des photons) et à fortiori de genre temps  ne peut sortir du trou noir. La frontière (immatérielle) qui sépare le trou noir du reste de l’univers s’appelle l’horizon des événements et il est situé en r= rs.

Ainsi, selon Oppenheimer toute la masse de l’étoile effondrée se concentre finalement en un point de dimension nulle  appelé "singularité gravitationnelle".

 

                                                                                                                  R.Oppenheimer (1904-1967)

 

Evolution d'une étoile selon sa masse:

                                                   

En fait, le terme « trou noir » a été inventé par le physicien américain John  Archibald Wheeler en 1967 et bien que le terme « black hole » fut inventé par celui-ci, Wheeler resta longtemps persuadé que l’implosion d’une étoile en trou noir devait être rejetée comme physiquement improbable en opposition avec les conclusions d’Oppenheimer. Il fallu attendre le début des années 1960 pour que Wheeler soit enfin convaincu et notamment grâce à des simulations numériques impossibles dans les années 40.

 

                    J.A Wheeler (1911-2008)                                    

 

Une autre difficulté était d’ordre conceptuelle : une étoile qui implose en trou noir reste éternellement figée à la circonférence critique "rs " du point de vue d’un observateur extérieur statique, tandis  qu’elle implose en traversant rapidement cette circonférence pour un observateur situé sur la surface de l’étoile. En 1958 un article de David Finkelstein reprenant de vieux calculs effectués  par Eddington, va définitivement mettre un terme aux réticences de nombreux physiciens quant au concept de « trous noirs ». Finkelstein introduisit de nouvelles coordonnées pouvant décrire simultanément le point de vue des observateurs extérieurs et celui des observateurs qui suivent le mouvement de la surface vers l’intérieur. La description qui en résultait  réconciliait assez facilement l’implosion figée vue de loin et l’implosion continue et rapide vue de la surface.

En fait, la singulatité en "rs" qui apparaît dans les coordonnées de Schwarzschild, résulte d’une discontinuité de la coordonnée mais pas de la variété où elle s’applique. Sans entrer dans les détails, un critère simple qui caractérise un problème sérieux est une courbure qui devient infinie. Nous savons qu'elle est mesurée par le tenseur de Riemann et il n’est pas toujours simple de dire quand un tenseur diverge, car ses composantes dépendent des coordonnées. Mais nous pouvons construire des scalaires à partir du tenseur de courbure et comme les scalaires ne dépendent pas des coordonnées il est instructif de considérer leur comportement. Le plus simple est une vielle connaissance : le scalaire de Ricci "R", mais on peut en construire dordre supérieur tels que etc..   Le scalaire de Krestschmann montre que la seule singularité au niveau de la variété est en r = 0.

                                                           

                                                                         Géodésiques des photons en coordonnées de Schwarzschild

                                                      

 

Schéma de gauche:

En vert, les géodésiques du genre lumière radiales entrantes et en noir les géodésiques radiales des photons sortants.

On constate que les trajectoires radiales des photons entrants ainsi que celles des particules massives (en pointillés) sont parfaitement continues au passage du rayon de Schwarzschild  (en rouge)  ce qui n'était pas le cas en coordonnées de  Schwarzschild (schéma du haut). Une fois passée la limite r=rs, toute particule fonce inévitablement en direction de la singularité r=0 : le rayon de Schwarzschild définit ainsi une frontière de "non-retour".

De même, on peut remarquer qu'aucun photon (et donc aucune particule massive) en provenance de la zone r<rs ne peut franchir  la frontière "rs" pour rejoindre la région r>rs et atteindre un observateur extérieur. Rien, ni même la lumière ne peut s'échapper de cette zone d'où le nom de trou "noir".

                                                                     

 

Schéma de droite:

Ici, les géodésiques radiales des photons sortants (en vert) et provenant de la région r<rs  peuvent traverser sans "problèmes" le rayon de Schwarzschild  ce qui peut paraître assez étonnant. De même, les photons entrants en provenance de la région r>rs ne peuvent franchir la frontière r=rs qui semble bizarrement se comporter comme une membrane répulsive. En fait, toute particule située dans la région r<rs est expulsée au delà de r=rs alors que toute particule située dans la zone r>rs ne peut y pénétrer!  La région 0<r<rs délimite ainsi ce qu'on appelle un trou "blanc" aussi nommée "fontaine blanche"

                                                                      

 

 

 

7-1-3) Trou de ver de Schwarzschild

Depuis 1961 toute la géométrie de l’espace-temps de Schwarschild peut être explorée d’un coup et dans son intégrité  à l’aide d'un seul jeu de coordonnées : les coordonnées de Kruskal. Ces nouvelles coordonnées  font  non seulement disparaître la pseudo-singularité en r=rs mais font également apparaître la notion de trou de ver qui est une jonction entre trou noir et trou blanc.

 

Bien évidemment, les coordonnées de Kruskal étant un "simple" changement de coordonnées, on peut vérifier que la transformation inverse redonne bien la métrique de Schwarzschild :

 

 Les nouvelles coordonnées de Kruskal font désormais apparaître 4 régions notées I,II,III et IV. Une analyse des géodésiques "lumière" permet de clarifier la nature de chacune de ces régions.

1.Toute particule qui va de la région I vers la région II ne peut jamais revenir et finit inévitablement sur la singularité r=0. La région I s'identifie donc aisément avec le "trou noir" de Schwarzschild.

Une fois l'horizon des évenements passé, on ne peut pas s’échapper pour retourner dans la region I; On ne peut meme pas s’arrêter de se rapprocher de r = 0, car la coordonnée "r" décroissante correspond maintenant à la flèche du temps (pour r < 2GM, t devient de type espace et r devient de type temps).

                                                          

 

2. La région III est comme le symétrique de la région II : Cest une autre région asymptotiquement plate de lespace temps, comme une image de la nôtre dans un miroir.

En fait, il s’agit d’une partie de l’espace-temps d’où les particules sont obligatoirement expulsées soit dans la région IV soit dans la région I : aucun signal ne peut rester dans cette partie de l'espace-temps. De même, aucune particule ne peut entrer dans cette région dénomée alors "fontaîne blanche" ou « trou blanc »

 

3. Des particules situées dans la région IV peuvent passer dans la région II où elles finiront inexorablement sur la singularité.

4. Les 2 régions I et IV sont connectées par un trou de ver situé à l’origine du diagramme de Kruskal même si aucune particule ne peut en fait passer de la zone I vers la zone IV et inversement. Par contre tout observateur passant dans la région II depuis I ou IV a le temps de voir  la lumière en provenance de son univers "miroir" avant de mourir sur la singularité avec ce joyeux souvenir..

 

Trou de ver de Schwarzschild :

                                                                                 Pont de Rosen-Einstein ou trou de ver de Schwarzschild

                                                    

Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessous, le trou de ver de Schwarzschild est dynamique. La gorge qui relie les 2 univers s'ouvre (v=-1), s'agrandit jusqu'à atteindre un maximum pour r =2m (pour v=0) , puis se rétrécit jusqu'à ce que les 2 univers soient  à nouveau déconnectés (pour v=1), chacun possédant à nouveau sa propre singularité. Le temps pendant lequel la gorge reste ouverte est bien trop court pour qu'aucune particule puisse passer d'un univers à un autre: aucun voyageur n'a le temps d'atteindre l'autre univers avant d'être écrasé sur la singularité. Un trou de ver de Schwarzschild n'est donc pas traversable.

                                                     

                       

                                          Evolution temporelle du trou de ver

 

                       

7-2) Trous de vers de Morris-Thorn