Relativité générale                                      

         

1°) Introduction

1905, la théorie de la relativité restreinte a enfin résolu le difficile problême de la non-invariance des équations de Maxwell sous une transformation de Galilée et a du même coup, apporté une réponse définitive quant à l'existence de cet "éther" que les physiciens avaient introduit au XVIII siècle. Pourtant, elle n'a pas encore résolu tous les problêmes et notamment celui de la gravitation.

1687, le grand Isaac Newton publie les "principia" et sa théorie de la gravitation où cette nouvelle intéraction est présentée comme agissant instantanément à travers le vide (contrairement à l'intéraction électromagnétique qui se propage au mieux à la vitesse de la lumière). Pourtant, depuis la relativité restreinte les physiciens savent désormais que rien ne peut se déplacer plus vite que la lumière. Newton lui même était déjà conscient du problême lorsqu'il écrivait :"Que la gravité soit innée, inhérente et essentielle à la matière, de sorte qu'un corps puisse agir à distance sur un autre à travers le vide, sans aucune espèce d'intermédiaire, pour transporter l'action et la force d'un corps jusqu'à l'autre, voilà qui me paraît d'une si grande absurdité que nulle personne ayant quelque capacité de raisonnement philosophique ne pourra jamais, ce me semble, y ajouter crédit"

La loi en 1/r² de l'intéraction gravitationnelle ne faisant pas apparaître le paramètre "temps" dans son expression, c'est logiquement que celle-ci n'est pas invariante sous une transformation de Lorentz comme l'avait déjà fait remarquer Poincaré.

      3^ième loi de Newton ou loi de la gravitation universelle.

Indépendamment, la théorie de Newton présente également d'autres lacunes comme par exemple "l'avance du périhélie" de la planète Mercure, petite anomalie connue depuis 1859 ( Voir Le Verrier  (1811-1877) ) et à laquelle elle n'a su apporter de réponse satisfaisante. La physique du XIX siècle n'envisage pas non plus la nécessaire déviation des rayons lumineux par les masses bien que les calculs furent déjà effectués par Soldner à la fin du XVIII siècle dans le cadre de la théorie corpusculaire de la lumière proposée par Newton (Cette théorie fut abandonnée car supplantée par la théorie ondulatoire de Fresnel, seule théorie capable d'expliquer correctement les phénomènes d'interférences). Pourtant, l'aspect corpusculaire de la lumière a été remis à l'ordre du jour dès 1905 afin d'interpreter l'effet photoélectrique. De plus, la lumière c'est de l'énergie, tout le monde le sait, et l'énergie c'est aussi..........    de la masse comme l'explique la  célèbre relation E= mc². Somme toute, les particules de lumière, comme toutes les autres particules, doivent être attirées par les masses, d'où une déviation obligatoire des rayons lumineux par les étoiles.

Au delà de ces petites imperfections, un autre problême, tout aussi important, tracasse Einstein. Il s'agit de la relativité des mouvements car la réponse fournie par la relativité restreinte n'est que partielle. Si les lois de la nature sont bien invariantes lors d'un changement de référentiel Galiléen, elles doivent cependant être modifiées dans les référentiels accélérés pour tenir compte des forces d'inertie. Or selon Mach, il n'y a pas lieu de distinguer les mouvements accélérés des mouvements inertiels. Pour le philosophe, les mouvements accélérés n'ont rien d'absolu mais sont, comme les mouvements inertiels, relatifs aux autres corps. Ainsi, tout mouvement dans la nature doit être par essence relatif et les lois de la physique doivent donc s'exprimer de façon identique dans tous les référentiels, quelque soit leur état de mouvement : c'est le futur principe de relativité générale d'Einstein  et qui se traduit mathématiquement en un autre principe, celui de covariance généralisée  qui exige que la forme des équations de la physique reste inchangée dans une transformation quelconque du système de coordonnées.

Pour Einstein, ce principe de relativité générale de tous les mouvements est une évidence. Pourquoi la nature ferait-elle une distinction entre les différents catégories de mouvements ? Pourquoi les référentiels accélérés ne seraient-ils pas tout aussi valides pour écrire les lois de la physique, que les référentiels inertiels ?

Relativité des mouvements et gravitation ne sont d'ailleurs pas deux problêmes aussi distincts qu'ils en ont l'air. Bien au contraire, ils sont liés de façon très profonde. Souvenez-vous, pour Newton les forces d'inertie sont des forces émanant de l'espace absolu et agissant uniquement sur les corps accélérés, permettant ainsi de caractériser ces mouvements "non-inertiels" de façon intrinsèque c'est à dire sans faire référence à un autre corps. Au contraire pour Mach, ces forces sont d'origines gravitationnelles si bien qu'un mouvemet accéleré ne pourra être défini que relativement aux corps matériels d'où émanent ces forces gravitationnelles, c'est à dire ces forces d'inertie selon le philosophe . On voit ainsi apparaitre succintement un lien entre les référentiels accélérés et les forces gravitationnelles.

Si l'on suit le résonnement de Mach jusqu'au bout, des forces gravitationnelles doivent donc apparaître dès lors qu'un corps est animé d'un mouvement accéléré. On peut alors tout aussi bien imaginer que tous les corps apparemment immobiles et sur lesquels s'exercent des forces gravitationnelles, sont en réalité animés d'un mouvement accéléré approprié ! On est déjà tout près du principe d'équivalence formulé par Einstein en 1907.

Conscient du caractère inachevé de sa théorie de la relativité restreinte, Einstein va s'attaquer au difficile problême de la  3^ième loi de Newton en cherchant à construire une théorie relativiste de la gravitation. Mais contrairement à ses collègues, il ne se fourvoyera pas dans une approche purement mathématique car Einstein est un pur physicien ; il aime "danser" avec la nature pour mieux en percer les secrets .C'est d'ailleurs là que réside tout son génie. S'il ne peut physiquement "communier" avec la nature pour "vivre" les phénomènes en direct, il pratique aisément toutes sortes "d'expériences de pensée". C'est d'ailleurs en s'imaginant tomber en chute libre dans un ascenseur qu'il réalisa que la gravitation est par essence relative.

La gravitation, un phénomène relatif ??? Quoi apparemment de plus absolu qu'un champ de gravitation dans la conception newtonienne ? La gravitation a été reconnue par le "grand  Maître" Newton comme universelle; Voilà bien un phénomène physique dont l'existence ne semble pouvoir dépendre de telle ou telle condition d'observation !

2°) Le principe d'équivalence  (1907)

On distingue ainsi deux sortes de masse "grave" : la masse grave "active" qui est la source du champ gravitationnel et la masse grave "passive" qui représente la masse capable d'interagir avec les champs de gravité. En vertu du principe des actions réciproques, aucune distinction n'est faite entre ces deux types de masses en théorie newtonnienne. Pour des raisons de cohérence interne à la théorie il en est de même en relativité générale.

Malgré leur rôle pourtant totalement différent, toutes les expériences qui ont pu être réalisées à ce jour montrent que masse inerte et masse grave (passive) sont deux grandeurs dont les valeurs sont identiques à 10 ^-12 près (cf l'expérience d'Eotvos, etc..).

Si déjà Galilée en son temps avait bien observé que des corps différents chutaient de la même manière, la seconde loi de Newton nous permet de mieux comprendre, sans pour autant nous expliquer pourquoi, masse inerte et masse grave ont  la même valeur.

Supposons par exemple qu'un corps de masse grave "m_g" soit lâché depuis un pont dans le champ de pesanteur terrestre g. La relation fondamentale de la dynamique (2ième loi de Newton ou RFD) permet d'écrire pour ce corps :

Si          ce qui signifie que tous les corps chuteront avec la même accélération, c'est à dire de la même manière.

Ainsi, pour que dans le vide tous les corps tombent avec la même vitesse (ce que l'expérience nous révèle) il faut bien admettre, d'après la RFD, que masse inerte et masse grave ont la même valeur.

Plutôt que de lacher des corps verticalement, on aurait pu tout aussi bien projeter à l'aide d'un canon des obus de masses et de formes différentes. La conclusion aurait été exactement la même : tous les corps auraient rigoureusement suivi la même trajectoire parabolique comme si cette trajectoire était déjà inscrite dans l'espace. On rencontre un peu la même situation pour les corps flottant sur l'eau d'un fleuve; Q'il s'agisse d'un bâteau, d'un morceau de bois ou d'une feuille morte, tous suivent les mêmes contours, la même courbe, celle inscrite, gravée par le cours d'eau sur la surface déformée à deux dimensions qu'est notre surface terrestre.

Mais n'anticipons pas et revenons plutôt au fameux principe d'équivalence. Si l'expérience est risquée, Einstein la pratiquera de façon imaginaire ; il se rêve tombant au beau milieu d'un ascenseur et dont le cable vient de céder ! Que voit-il? Que ressent-il? Il semble flotter dans cet ascenseur comme il le ferait dans le vide loin de toutes forces. Il sort alors de sa poche des clefs et les lâche..et stupeur ! Einstein les voit restant obstinément à côté de lui, immobiles comme en lévitation (les clefs, comme Einstein chutent à la même vitesse et ils sont donc immobiles l'un par rapport à l'autre). Un peu étonné, Einstein les poussent légèrement et les voilà maintenant décrivant une parfaite ligne droite. Tout se passe donc comme si cette dangeureuse expérience se passait calmement dans l'espace loin de tout, comme si soudainement la gravité n'existait plus ! Tiens tiens...la gravité que l'on croyait absolue, universelle, n'est-elle qu'une illusion ? Einstein vient de comprendre, la gravitation peut être supprimée par un choix judicieux du référentiel ; La gravité est relative au référentiel. Référentiel plutôt étrange, car bien qu'en mouvement accéléré, il se comporte magiquement comme un référentiel inertiel. Si la gravité n'a rien d'absolu mais est relative, il en est donc de même des mouvements accélérés comme le pensait déjà un certain Mach. En effet, si l'on peut faire disparaître un champ de gravité en se plaçant dans un référentiel uniformément accéléré et entraîné dans ce champ, l'inverse est également possible. Pour l'illustrer, imaginons-nous dans ce même ascenseur en accélération vers le haut à raison de 9,8 m.s^-2. Les phénomènes que nous pourrions vivre dans cet ascenseur seraient identiques à ceux que nous vivons quotidiennement sur notre bonne vielle Terre apparemment immobile. Si comme Einstein, on choisissait de lâcher notre troussseau de clefs, on le verrait tomber vers le bas avec une accélération de 9,8 ms^-2 (en réalité c'est le plancher de l'ascenseur qui monte en nous entraînant vers le haut,  si bien que tout se passe comme si les clefs tombaient vers le bas). De même, si nous lancions ces même clefs, nous les verrions suivre une trajectoire parabolique. Toutes les expériences que nous pourrions faire dans cet ascenseur ne nous permettraient pas de savoir si nous sommes effectivement dans un référentiel accéléré ou "immobiles" dans un champ de gravité (en tout cas localement, car le champ de gravité est centrale et non purement vertical comme le vecteur accélération de notre ascenseur)

Pour Einstein, tout s'illumine enfin ! De ces expériences pourtant simples, il réalise la profondeur du lien existant entre les phénomènes gravitationnels et la relativité des mouvements. Ces deux problêmes qui tracassaient tant Einstein autrefois ne font plus qu'un seul et même problême!

C'est ainsi qu'en 1907 Einstein pose son principe d'équivalence : Un champ de gravitation est équivalent au champ de force créé par un mouvement accéléré. On ne peut faire de distinctions entre ces deux phénomènes et c'est pourquoi  la masse inerte possède la même valeur que la masse "grave". Ainsi, dans la nouvelle théorie de la gravitation, pourquoi faire intervenir cette masse inerte pour finalement la faire disparaître comme avec la seconde loi de Newton? Croire au principe d'équivalence c'est accepter que la nature soit faite de façon à ce que les trajectoires soient indépendantes des corps eux-mêmes, c'est accepter que les orbites des planètes soient en quelque sorte déjà tracées dans l'espace. Ces "autoroutes spatiales" étant structurées, façonnées par les masses graves. Au final, Adieu donc les lois de Newton et les notions de forces et d'accélérations qui vont avec !

Il s'agit maintenant pour Einstein de comprendre comment la masse "grave" structure, modèle l'espace-temps l'obligeant ainsi à abandonner le cadre de la géométrie euclidienne... mais n'anticipons pas et revenons tout d'abord un instant sur le délicat problême de l'origine des forces d'inertie.

Pour Newton, les forces d'inertie qui apparaissent sur les corps accélérés proviennent de l'espace absolu. Pour Mach qui répugne l'idée qu'il puisse exister un espace indépendamment des objets qu'il contient, ces forces d'inertie sont d'origines gravitationnelles et proviennent de tous les corps matériels existant dans l'univers, en accord avec l'idée que les mouvements accélérés ne peuvent être que relatifs aux autres corps, tout comme le sont déjà les mouvements inertiels (relativité générale des mouvements). D'ailleurs, comment pourrait-on définir positions, vitesses et donc accélérations par rapport à un espace dépourvu de tout corps de référence ?

Pour Mach comme pour Einstein par la suite, la raison de l'inertie est donc une résistance au mouvement, une résistance qui serait liée à l'attraction gravitationnelle de tous les autres corps de ce monde. Le principe d'équivalence va bien dans ce sens puisqu'il stipule qu'il n'existe aucune différence entre accélération et gravitation. Accélérez et tout se passe comme si vous étiez soumis à un champ de gravité, or accélérer en théorie Newtonienne c'est aussi voir apparaître des forces d'inertie. Ainsi, Einstein voudrait bien voir dans l'inertie et la gravitation un seul et unique phénomène.

Si l'on accepte ce raisonnement jusqu'au bout, tout corps en rotation dans un espace vide (sans matière) n'enflera pas sous l'effet de la force centrifuge puisqu'aucune force d'inertie ne peut exister dans pareil cas étant donné qu'elles sont, selon Mach et Einstein, d'origines gravitationnelles. Ainsi, on ne pourrait donc pas savoir si ce corps tourne puisqu'il réagirait de la même manière que s'il ne tournait pas...La future théorie de la gravitation devrait donc tenir compte de cette logique conclusion en interdisant qu'il puisse exister des corps en rotation dans un espace totalement vide. Ce sera finalement une grosse déception pour Einstein que de s'apercevoir que les solutions possibles des équations de la relativité générale permettent malheureusement une telle situation (métrique de Kerr par exemple). Mais par rapport à quoi le cops défini par la métrique de Kerr peut-il bien tourner ?

En résumé : les champs de gravité et les champs d'accélération n'ont rien d'absolu mais sont relatifs et même interchangeables. Comme à son habitude Einstein va tirer de ce résultat fondamental toutes les conclusions possibles et notamment celle de la nécessaire déviation des rayons lumineux au voisinage des masses, ainsi que le phénomène de ralentissement des horloges dans les champs de gravité. Voyons maintenant pourquoi :

Déviation des rayons lumineux par les masses

Imaginons-nous dans le vide, loin de toutes matières, et dans notre ascenseur en accélération constante vers le haut à raison de 9.8 ms^-2. Par commodité, supposons que les parois de notre ascenseur puissent laisser passer la lumière. Imaginons maintenant qu'un rayon lumineux de trajectoire rectiligne et horizontale, traverse notre ascenseur de part et d'autre. En raison de l'accélération de notre ascenseur, le rayon lumineux ne ressortira pas "pile-poil" en face du point par où il est entré (point A₁ sur la figure), mais légèrement plus bas (point A₂).

Si on pouvait filmer depuis l'intérieur de l'ascenseur la trajectoire de ce rayon lumineux, on observerait une trajectoire courbe et dirigée vers le bas. En vertu du principe d'équivalence, notre cabine accélérée est aussi équivalente à une cabine immobile mais baignant dans un champ de pesanteur de valeur g = 9,8 m.s^-2.

                                                                                                               Déviation du rayon lumineux par rapport à l'ascenseur          

Animation vidéo (format avi/138 Ko) montrant l'effet d'une accélération sur un rayon lumineux :  

En conclusion : un champ gravitationnel est capable d'incurver, de dévier les rayons lumineux ce qui n'était pas le cas avec la théorie ondulatoire de la lumière.

Dès 1915, Einstein calcula l'angle de déviation qu'un rayon lumineux issu d'une étoile lointaine devrait subir en passant à proximité du Soleil.

Cet angle vaut

Concrètement le phénomène se traduit par un déplacement apparant de l'étoile sur la voute céleste lorsque le Soleil passe devant la ligne de mire de l'étoile.

La valeur de l'angle de déviation fut mesurée en mai 1919 par Eddington lors d'une éclipse totale de Soleil. Les résultats des mesures donnèrent raison à Einstein.

Déplacement apparent de l'étoile lorsque le Soleil passe dans la "ligne de mire". L'étoile semble s'être déplacée vers la gauche.

Ralentissement des horloges dans un champ de gravité:

Il s'agit ici de mesurer les effets possibles d'une accélération sur l'écoulement du temps puis de transposer la situation à celle vécue dans un champ de gravité via le principe d'équivalence.

Pour cela Einstein imagine un ascenseur en accélaration constante vers le haut. En haut de l'ascenseur se situe un observateur dont le rôle consiste à mesurer la période T d'un phénomène périodique ayant lieu quelques mètres plus bas, l'information étant transmise de l'horloge à l'observateur via une onde électromagnétique.

Rapporté à un champ de gravité, tout se passe donc comme si notre observateur et l'horloge étaient au repos mais situés dans un champ de pesanteur tel que :  g = a_G .

La situation étant présentée, passons maintenant à quelques calculs :

Pour ne pas tenir compte des effets relativistes apparaissant lorsque les vitesses deviennent trop grandes, on supposera que l'accéleration de notre ascenseur reste faible si bien que notre analogie avec un champ de gravité ne sera valable que si le champ est de faible intensité. De plus, le principe d'équivalence n'étant valable que localement, la transposition à un champ de gravité ne sera correct que si les dimensions de l'ascenseur restent petites.

L'horloge est placée sur le plancher de l'ascenseur. A chaque "tic-tac" elle émet vers le haut une onde éléctromagnétique. Soit To le laps de temps écoulé entre l'émission de deux ondes sucessives (To représente donc la période propre de l'horloge située au niveau du plancher).

Soit maintenant notre observateur situé au plafond de l'ascenseur. Entre la réception de deux signaux éléctromagnétiques successifs, il mesurera un laps de temps T qui correspond à la période qu'il attribue au phénomène.

Au premier "tic" de l'horloge, noté t₁, une onde electromagnétique part en direction du plafond. Avec l'approximation utilisée, la distance que doit parcourir cette onde pour atteindre le plafond vaudra :

d₁ » h + v´(dh /c)   car pendant que l'onde monte, le plafond recule à la vitesse v  que l'on peut supposer constante (le laps de temps nécessaire au photon pour atteindre le plafond de hauteur dh est très court vu les dimensions restreintes de l'ascenseur, et étant donné que l'accélération de l'ascenseur est supposée faible, sa vitesse ne peut guère varier sur un laps de temps aussi court).

Soit t'₁ l'instant repéré sur l'horloge  de l'observateur lorsqu'il note l'arrivée de ce premier photon :  t'₁= t₁+ d₁/c

Au second tic (donc le tac...) de l'horloge du bas, noté t₂, une deuxième onde part en direction du plafond. La distance à parcourir pour cette deuxième onde est plus grande que tout à l'heure car entre temps la vitesse de l'ascenseur a  légèrement augmenté étant donné qu'il accélère. Soit v' la nouvelle vitesse de notre ascenseur. La distance à parcourir vaut maintenant d₂ » h +v'´(dh /c).

Soit t'₂ l'instant où notre observateur note l'arrivée de cette seconde onde:  t'₂ = t₂ + d₂/c

Pour cette observateur, la période T' de l'horloge située en bas vaut :

L'expérimentateur situé en haut de l'ascenseur observe donc une dilatation des durées (T'>To). Pour cet observateur, l'horloge du bas retarde par rapport à la sienne.

Dit d'une autre manière, le temps s'écoule plus lentement au niveau du plancher qu'en haut de l'ascenseur. Il s'écoulera d'autant plus lentement que l'accélération a_G de l'ascenseur est grande.

En vertu du principe d'équivalence, la situation décrite précédemment est strictement équivalente à celle par exemple d'un ascenseur immobile sur la surface d'une planète et dont le champ de pesanteur à ce niveau vaudrait g = a_G . Ainsi, un observateur situé quelques mètres au dessus de la surface mesurerait lui aussi une période plus grande. Pour lui, le temps s'écoule plus doucement au niveau du sol que quelques mètres plus haut. Il s'écoulera d'autant plus lentement que le champ de gravité de l'endroit où a lieu l'expérience est intense.

Remarque : La relation (1) peut aussi s'exprimer en fonction des potentiels gravitationnels des endroits où se trouvent l'horloge et l'observateur.

Par exemple on peut supposer que l'horloge est placée à la distance r du centre d'une planète ( par exemple à sa surface) et que notre observateur est situé quelques mètres plus haut.

A titre d'exemple, faisons le calcul dans le cas de la Terre ( g » 9.8 N.kg^-1). L'horloge est située à la surface terrestre et l'observateur à une hauteur  h = 2m.

On obtient :

T'= (1+ 2,17. 10 ^-16 ).To   soit   (T'-To) /To = 2,17. 10 ^-16 s/s  soit encore une différence de 2 dixièmes de millionième de milliardième de seconde pour chaque seconde écoulée au niveau de la surface terrestre.....Au bout d'un siècle la différence est d'environ  6,8 .10 ^-7 s soit encore 0,68 microseconde..............

Autant dire de suite qu'habiter au raz de la surface terrestre ne nous ferait pas gagner beaucoup de "vie" sur une autre personne vivant 2m plus haut! Inutile donc de déménager si vous habitez au 2ième ou même au 5 ième étage ..Parcontre l'effet serait largement perceptible sur une étoile à neutron où le champ de pesanteur est environ 10¹⁶ fois plus important qu'ici sur Terre !! Malheureusement, on ne pourrait pas vivre sur une telle étoile, nous serions instantanément transformés en une "crèpe ensanglantée" tellement le champ de pesanteur est intense !

A supposer pourtant que la vie soit possible sur une telle étoile, que verrait notre observateur des phénomènes ayant lieu quelques mètres en dessous de lui, là ou le champ de gravité est bien plus important ? Les mouvements des personnes vivant plus bas lui sembleraient d'une lenteur incroyable; Regarder quelqu'un fumer une cigarette durerait plusieurs semaines à son échelle. Notre observateur verrait cette personne littéralement vivre au ralenti. Si après plusieurs années d'observations (certes bien ennuyeuses..), notre expérimentateur décidait enfin d'aller serrer la main de son frère jumeaux resté plus bas, il le verrait maintenant parler et evoluer normalement mais ce n'est pas la main d'une personne de son âge qu'il serrait mais bien plutôt celle d'un adolescent..... (Mais en serait-il de même s'il ne l'avait jamais observé ?)

En conclusion, retenons que la gravitation  est capable de modifier l'écoulement du temps !  Le temps s'écoule d'autant plus lentement que le champ de gravité est intense : c'est le phénomène de "dilatation gravitationnelle du temps".

Si cet effet est difficilement observable ici sur Terre, il est mesurable en prenant comme petite horloge un atome situé sur le Soleil où le champ de gravitation est beaucoup plus important. En effet, lorsqu'un atome est excité, certains de ses éléctrons changent régulièrement "d'orbites" pour revenir dans un état énergétique plus fondamental en restituant le surplus d'énergie sous forme de photons dont les fréquences peuvent se déduire de la théorie de "Bohr-Sommerfeld".

L'effet de dilatation du temps par le champ gravitationnel du Soleil se traduira par un décalage vers le rouge des raies d'émission des atomes : c'est ce qu'on appelle "l'effet Einstein".

Le calcul est relativement simple si l'on admet que les "périodes de vibrations" des atomes (dont les raies spectrales sont une signature), sont seulement caractéristiques de l'atome lui-même et ne dépendent en aucune manière du champ de pesanteur dans lequel ils se trouvent. Parcontre, en présence d'un champ de gravité, les périodes de vibrations de ces atomes et donc les périodes des photons émis, se verront ralenties pour un observateur lointain. Les fréquences des raies spectrales mesurées par cet observateur seront donc plus petites, ce qui correspond à des longueurs d'ondes plus grandes pour les photons émis, d'où le décalage vers le rouge.

3°) Champs  de gravitation et  espaces  courbes

Une analyse détaillée du principe d'équivalence montre qu'une théorie relativiste de la gravitation ne peut se construire dans un espace plat.

Le principe d'équivalence s'appuie en effet sur le fait que tous les corps tombent de la même manière. Les trajectoires des corps d'épreuve ne dépendent donc pas de leur nature comme si ces trajectoires étaient déjà inscrites dans l'espace sous-jacent. On peut dès lors supposer que la gravitation est une propriété de l'espace lui-même. De plus, les champs de gravité étant différents d'un lieu à l'autre, les trajectoires seront donc plus ou moins courbées si bien que l'espace-temps doit changer d'un lieu à un autre ce qui n'est pas le cas des espaces euclidiens ou pseudo-euclidien comme l'espace de Minkowski. Le choix d'Einstein va donc s'orienter vers les espaces courbes c'est à dire les espaces "Riemanniens".

La seconde étape est d'établir une connexion entre les espaces abstraits de Riemann et la réalité physique. Ce lien sera la matière (et l'énergie car l'énergie c'est aussi de la matière) puisque c'est elle qui crée le champ de gravitation. Ainsi, l'espace-temps sera courbé, modelé par la matière, source du champ gravitationnel. Reste évidemment à comprendre, et ce n'est pas une mince affaire, comment la courbure de l'espace-temps dépendra des masses, c'est à dire quelles sont les équations qui détermineront la structure de l'espace en fonction des masses. Ces équations se devront également covariantes afin d'inclure le principe de relativité générale.

              1. Déformation de l'espace-temps par les masses                                                                                      2.Rayon lumineux dévié par une masse

4°) Le principe de relativité générale

Le principe de relativité générale des mouvements est pour Einstein une loi fondamentale de la nature. Quelqu'un oserait-il d'ailleurs imaginer que la nature soit faite de telle manière que les lois qui la gouvernent soient différentes selon qu'on les comtemple depuis tel ou tel lieu, dans telle ou telle circonstance ? C'est pourqoui Einstein est intimement persuadé que tous les référentiels doivent être équivalents pour décrire le comportement de la nature. Les lois de la nature et donc les équations qui les traduisent doivent garder la même forme quelque soit l'état de mouvement du système de coordonnées. C'est ainsi par exemple que l'équation du mouvement d'un corps par rapport à un référentiel quelconque gardera en définitive la même forme que celle obtenue dans un référentiel inertiel (ce qui n'était pas le cas en mécanique classique puisqu'il fallait tenir compte des forces d'inertie).

Ceux sont en partie les conséquences du principe d'équivalence qui poussent définitivement Einstein vers une relativité générale des mouvements puisque c'est ce même principe qui nous montre déjà que les référentiels en chute libre dans un champ de gravité (donc accélérés) n'ont rien de particuliers, d'absolus, étant donné qu'ils peuvent tout aussi bien s'apparenter à des référentiels inertiels. Tout n'est donc qu'une question de point de vue! Référentiels accélérés et référentiels d'inertie doivent finalement être sur un pied d'égalité pour exprimer les lois de la nature.

Par exemple, l'expérience de l'ascenseur nous a révélé que tous les corps situés dans un référentiel accéléré par un champ gravitationnel se comportaient exactement de la même manière que s'ils étaient dans un référentiel inertiel en l'absence de gravitation. Ces corps sont soit immobiles, soit animés d'un mouvement rectiligne uniforme. Ils réagissent conformément au principe d'inertie si bien que l'équation de leur mouvement est celle qu'on utilise normalement dans les référentiels galiléens en l'abscence de toutes forces, à savoir :  (loi d'inertie)

En résumé, tout corps soumis à un champ de gravité décrit, par rapport aux référentiels en chute libre dans ce champ, une trajectoire rectiligne , une droite, c'est à dire la courbe de longueur extrémale en géométrie euclidienne.

Si dans ce système de coordonnées localement inertiel la loi du mouvement est bien celle de la loi d'inertie alors, d'après le principe de relativité générale, cette loi doit prendre la même forme (covariance généralisée) pour tous les autres systèmes de coordonnées, c'est à dire pour tous les autres référentiels vis à vis desquels la gravitation est toujours plus ou moins présente, et par rapport auxquels les corps qui se meuvent dans l'ascenseur ne décrivent plus des droites mais des trajectoires courbes. Or ces trajectoires courbes peuvent elles aussi être vues comme des trajectoires de longueurs extrémales mais dans un espace courbe : c'est ce qu'on appelle des "géodésiques" et dont l'équation est du type :

Cette expression n'est évidemment pas sans rappeller la loi d'inertie dans un espace euclidien mis à part que le symbole "D" représente ce qu'on appelle la "dérivée covariante", qui est une généralisation de la dérivée classique dans un espace plat.

Mathématiquement parlant, par rapport à tous les référentiels autres que celui en chute libre dans le champ gravitationnel, les corps décrivent des courbes qui localement deviennent des droites par rapport à ce référentiel en chute libre. Ces courbes sont donc les plus courtes (car les plus "droites" possibles) que l'on puisse tracer sur un espace courbe : elles sont les géodésiques de cet espace.

Ainsi, quelque soit l'état de mouvement du référentiel d'étude et le système de coordonnées qui lui est affilié, l'équation de la trajectoire doit rester du type : obligeant ainsi Einstein à se tourner vers les géométrie non euclidienne (pour un référentiel accéléré, il n'est pas possible de trouver un système de coordonnées cartésien donc sous tendant un espace plat, et permettant d'obtenir une loi du mouvement du type )

Selon Einstein, et en vertu du principe de relativité générale, si l'on souhaite que la loi d'inertie reste vraie dans tous les référentiels et pas seulement dans les référentiels inertiels, il faut alors imaginer que les corps d'épreuve suivent les géodésiques d'un espace courbe. En d'autres termes, on supprime les forces de gravitation, pour les inscrire, via la courbure, dans l'espace-temps et on libère les corps d'épreuve lesquels vont suivre les voies de la courbures, les géodésiques. La loi de l'inertie est ainsi généralisée à tous les référentiels et la notion de force (de gravitation) est supprimée et intégrée dans la courbure de l'espace-temps. Au final, les corps d'épreuve ne subissent en réalité aucune force mais ne font que suivre les chemins de l'espace courbe (conclusion à laquelle on aboutit déjà de façon intuitive seulement d'après le principe d'équivalence-Voir 3°).

En conclusionn toutes particules "libres" sur lesquelles n'agit aucune force (sinon la gravité) se déplacent le long d'une géodésique de l'espace temps.

Dit d'une autre manière, les lois de la physique en présence de gravitation doivent prendre la même forme qu'en son absence.

Si le principe d'équivalence est le véritable pilier de la future théorie de la gravitation, le principe de relativité en sera le "moteur" puisque c'est en suivant "corps et âme" ce principe qu'Einstein acceptera d'abandonner définitivement le cadre de la géométrie euclidienne pour adopter celui des géométries courbes. C'est toujours en suivant ce même principe, mathématiquement traduit par le principe de covariance généralisée, qu'il atteindra enfin les équations du champ c'est à dire les équations qui permettent d'obtenir la "forme" que doit prendre l'espace-temps en présence de matière et d'énergie.

Pour celà Einstein va devoir maîtriser les géométries non-euclidiennes et apprendre à manipuler avec rigueur ces nouveaux "objets" mathématiques que sont les tenseurs. Lui qui voyait dans les mathématiques "un luxe superflue", se voit désormais obligé de faire appel à un vieil ami, Marcel Grossman, brillant professeur de mathématique et dont la thèse traitait, lorsqu'il était encore étudiant, justement des géométries non euclidiennes. Ce sera pour lui une tâche difficile et laborieuse, et bien que se révélant très bon mathématicien il maniera ces outils mathématiques avec une certaine maladresse. Comme le dira plus tard Hilbert : " N'importe quel enfant dans les rues de Gottigen en connaît plus qu'Einstein sur la géométrie à 4 dimensions !". La phrase semble assassine mais reflète davantage un sentiment de frustation que de mépris. (Comment une telle théorie a-t-elle pu  être élaboré par un parfait inconnu et non à Gottigen, centre mondial de la recherche mathématique ?)

.Malgré tout, c'est Einstein qui fit le travail et non Hilbert. Il fit le travail car les mathématiques seules n'y suffisaient pas, l'intuition physique exceptionnelle d'Einstein était sans conteste plus que nécessaire.

5°) Les  équations  du  champ  (1915)

Comment différencier de façon intrinsèque un espace courbe d'un espace plat ? C'est au génial mathématicien Carl Gauss que l'on doit la première théorie des espaces courbes même s'il s'est cantonné aux espaces courbes localement euclidiens (c'est justement de cette théorie dont la relativité générale a besoin puisque localement les corps soumis à un champ gravitationnel se déplacent de la même manière que dans un espace plat sans forces). La différence entre un espace courbe et un espace euclidien se ramène à la connaissance de la métrique de cet espace, c'est à dire la distance "ds" séparant deux points très proches l'un de l'autre. Cette grandeur est très importante puisqu'elle reste inchangée dans une transformation quelconque du système de coordonnées comme on le verra tout à l'heure. C'est un invariant fondamental.

Pour un un système de coordonnées quelconque (ie pas fatalement rectiligne et orthogonale) la métrique d'un espace, qu'il soit plat ou courbé s'écrit :

     _avec                                                                                                                               

(Les coefficients g_ij qui définissent la métrique de l'espace correspondent aux composantes covariantes d'un tenseur de rang 2 défini par :    . Comme les scalaires et les vecteurs, les tenseurs sont des grandeurs invariantes)